Формула кинетической энергии
7 классРабота, мощность, энергия
Кинетическая энергия — мера того, сколько работы движущееся тело может совершить, пока не остановится. Измеряется в джоулях (Дж).
Квадрат относится только к скорости: сначала скорость возводят в квадрат, потом умножают на массу и делят на два. Формулу применяют к телу, которое движется как целое — все его точки идут с одной скоростью, и тело не вращается.
Что означает каждая буква
Проверка размерности: кг · (м/с)² = кг·м²/с². Именно так и устроен джоуль: 1 Дж = 1 кг·м²/с² = 1 Н·м. Единица сходится с работой, и это не совпадение, а смысл самой величины — энергия равна работе, которую тело способно совершить.
v — скорость в этот момент, а не средняя за поездку. У тела, которое то стоит на светофоре, то идёт по трассе, энергия меняется вместе со скоростью, и «энергии за поездку» не существует.
Отрицательной эта энергия не бывает ни при каком направлении движения: в формулу входит квадрат, а он одинаков у −25 и у +25. Машина задним ходом и машина вперёд с той же скоростью по спидометру несут поровну.
Посчитать по формуле
Не хватает: масса тела. Введите — покажу ответ, перевод единиц и всю подстановку.
Когда формула не работает
Формула описывает тело, которое движется как целое, не вращается, и скорость которого мала по сравнению со скоростью света. Вот где это перестаёт быть правдой.
В условии не сказано, относительно чего измерена скорость
Кинетическая энергия зависит от системы отсчёта, и это не тонкость, а обычное её свойство. Пассажир массой 70 кг спит в кресле поезда, идущего со скоростью 90 км/ч. Относительно вагона его скорость равна нулю — и энергия равна нулю. Относительно перрона его скорость 25 м/с, и энергия равна 22 кДж. Оба ответа верны, просто они про разные вопросы, и «найдите энергию пассажира» без второй половины вопроса ответа не имеет. В школьной задаче систему отсчёта обычно подразумевают связанной с землёй, но как только в условии появляются два движущихся тела — поезд и платформа, лодка и река, эскалатор и человек, — подразумевать уже нельзя.
Тело катится или вращается
У катящегося колеса точки идут с разными скоростями: низ в момент касания дороги почти неподвижен относительно неё, а верх идёт вдвое быстрее оси. Скорость центра, подставленная в формулу, даёт только ту часть энергии, что связана с перемещением тела как целого, а к ней добавляется энергия вращения. Промах не в долях процента: у катящегося без проскальзывания сплошного цилиндра полная энергия в полтора раза больше посчитанной, а у обруча — ровно вдвое.
Тогда: энергию твёрдого тела пишут суммой — движение центра масс плюс вращение вокруг него; вращательную часть считают через момент инерции и угловую скорость (10 класс). В задачах 7 класса тела скользят и летят, а не катятся
Части тела движутся с разными скоростями
Формула написана для одной скорости — значит, всё тело должно идти одинаково. Вода в реке, воздух в порыве ветра, разлетающиеся осколки, бегущий человек, который вдобавок машет руками, — у всех этих тел разные части движутся по-разному, и общей скорости, которую можно подставить, у них нет.
Тогда: тело мысленно делят на части, у каждой считают свою энергию и складывают — энергия системы равна сумме энергий её частей. Для потока воды или воздуха берут массу, проходящую за секунду, и считают энергию этой массы
В формулу подставлена средняя скорость за поездку
Автомобиль проехал 100 км за 2 часа, средняя скорость 50 км/ч — и «кинетическая энергия за поездку» посчитана. Такой величины не существует. Средняя скорость описывает весь путь целиком, а энергия есть у тела в каждый отдельный момент и меняется вместе со скоростью: на светофоре она нулевая, на трассе — сотни килоджоулей.
Скорость сравнима со скоростью света
При скоростях, приближающихся к 300 000 км/с, школьная формула энергию занижает, и чем ближе к световой, тем сильнее: электрон, разогнанный до 0,9 скорости света, по ней «не дотягивает» больше чем вдвое. Для школьных задач это далеко — даже у спутника со скоростью 8 км/с поправка меньше миллионной доли. Знать про эту границу стоит по другой причине: она объясняет, почему тело нельзя разогнать до сколь угодно большой скорости, просто подводя всё больше энергии.
Тогда: энергию считают через энергию покоя и множитель, зависящий от отношения скорости к световой. При малых скоростях эта формула переходит в школьную — та не отменена, а оказывается её частным случаем
Справочник: кинетическая энергия движущихся тел
| Что движется | m | v | Eк | Откуда числа |
|---|---|---|---|---|
| Капля дождя | 0,03 г | 8 м/с | 0,001 Дж | оценка |
| Яблоко, упавшее с 1,5 м | 0,2 кг | 5,4 м/с | 2,9 Дж | масса — оценка; скорость — расчёт |
| Молоток при ударе | 0,5 кг | 8 м/с | 16 Дж | оценка |
| Снежок | 0,15 кг | 15 м/с | 17 Дж | оценка |
| Идущий человек | 70 кг | 1,4 м/с (5 км/ч) | 69 Дж | оценка |
| Теннисный мяч на подаче | 58 г | 50 м/с (180 км/ч) | 73 Дж | масса — правила ITF; скорость — оценка |
| Хоккейная шайба | 165 г | 40 м/с (144 км/ч) | 132 Дж | масса — правила IIHF; скорость — оценка |
| Футбольный мяч после удара | 430 г | 25 м/с (90 км/ч) | 134 Дж | масса — Правила игры IFAB; скорость — оценка |
| Бегун трусцой | 70 кг | 3 м/с (11 км/ч) | 315 Дж | оценка |
| Пуля, вылетевшая из ружья | 7,5 г | 600 м/с | 1350 Дж | Пёрышкин, 7 класс, § 67, упражнение 34 |
| Велосипедист с велосипедом | 90 кг | 5,6 м/с (20 км/ч) | 1,4 кДж | оценка |
| Спринтер на дистанции | 80 кг | 10 м/с (36 км/ч) | 4,0 кДж | оценка |
| Легковой автомобиль во дворе | 1500 кг | 20 км/ч | 23 кДж | скорость — ПДД, пункт 10.2; масса — оценка |
| Легковой автомобиль в городе | 1500 кг | 60 км/ч | 208 кДж | скорость — ПДД, пункт 10.2; масса — оценка |
| Легковой автомобиль на шоссе | 1500 кг | 90 км/ч | 469 кДж | скорость — ПДД, пункт 10.3; масса — оценка |
| Легковой автомобиль на автомагистрали | 1500 кг | 110 км/ч | 700 кДж | скорость — ПДД, пункт 10.3; масса — оценка |
| Гружёный грузовик | 12 т | 70 км/ч | 2,3 МДж | скорость — ПДД, пункт 10.3; масса — оценка |
| Самолёт при отрыве от полосы | 45 т | 250 км/ч | 108 МДж | оценка |
| Электричка | 400 т | 90 км/ч | 125 МДж | оценка |
- оценка
- Наша оценка порядка величины: масса и скорость взяты круглыми для обычного случая, источника у этих чисел нет. Энергия посчитана по формуле Eк = m·v²/2.
- масса — оценка; скорость — расчёт
- Масса яблока — наша оценка, источника у неё нет. Скорость в конце падения с 1,5 м посчитана по формуле v = √(2gh) при g = 9,8 м/с² без сопротивления воздуха, энергия — по Eк = m·v²/2.
- масса — правила ITF; скорость — оценка
- Масса — Международная федерация тенниса (ITF), «ITF Rules of Tennis 2026», приложение I, таблица в пункте b: 56,0–59,4 г, в строке взято 58 г. Скорость подачи — наша оценка, источника у неё нет. Прочитано 15.09.2026. Источник
- масса — правила IIHF; скорость — оценка
- Масса — Международная федерация хоккея (IIHF), «IIHF Official Rule Book 2026/27», правило 13 «Шайба», пункт 13.1: шайба весит от 156 до 170 г, в строке взято 165 г. Скорость — наша оценка, источника у неё нет. Прочитано 15.09.2026. Источник
- масса — Правила игры IFAB; скорость — оценка
- Масса — Совет Международной футбольной ассоциации (IFAB), Правила игры, правило 2 «Мяч», пункт 2.1: от 410 до 450 г к началу матча, в строке взята середина. Скорость после удара — наша оценка, источника у неё нет. Прочитано 15.09.2026. Источник
- Пёрышкин, 7 класс, § 67, упражнение 34
- А. В. Пёрышкин, «Физика. 7 класс», § 67 «Потенциальная и кинетическая энергия», упражнение 34, задача 4: скорость пули при вылете из ружья 600 м/с, масса 7,5 г. Энергия — наш расчёт. Источник
- скорость — ПДД, пункт 10.2; масса — оценка
- Скорость — Правила дорожного движения Российской Федерации (постановление Правительства РФ от 23.10.1993 № 1090, редакция от 28.08.2026), пункт 10.2: в населённых пунктах не более 60 км/ч, в жилых зонах, велосипедных зонах и на дворовых территориях не более 20 км/ч. Масса автомобиля — наша оценка, источника у неё нет. Текст правил сверен в правовой базе «КонсультантПлюс» 15.09.2026. Источник
- скорость — ПДД, пункт 10.3; масса — оценка
- Скорость — Правила дорожного движения Российской Федерации (постановление Правительства РФ от 23.10.1993 № 1090, редакция от 28.08.2026), пункт 10.3: вне населённых пунктов легковым автомобилям на автомагистралях не более 110 км/ч, на остальных дорогах не более 90 км/ч; грузовым автомобилям с разрешённой максимальной массой более 3,5 т на остальных дорогах не более 70 км/ч. Массы автомобиля и грузовика — наша оценка, источника у них нет. Текст правил сверен в правовой базе «КонсультантПлюс» 15.09.2026. Источник
Параграфы учебника А. В. Пёрышкина сверены по его воспроизведению на сайте лена24.рф. Соавторов, издательство и год издания воспроизведение не называет, поэтому редакция не подтверждена: в другом издании номера параграфов, таблиц и упражнений могут отличаться.
Скорость входит в квадрате, и это видно построчно. Пуля весит в 7,7 раза меньше теннисного мяча, а энергии несёт в 18 раз больше, потому что летит в 12 раз быстрее. Футбольный мяч несёт в 1,9 раза больше энергии, чем идущий человек, хотя легче его в 160 раз.
Один и тот же автомобиль на разных дорогах — это разные величины: 23 кДж во дворе, 208 кДж в городе, 700 кДж на автомагистрали. Масса всё время одна, меняется только скорость.
Тяжёлое и медленное тоже набирает много. Электричка идёт со скоростью автомобиля на шоссе, но весит в 270 раз больше — и энергии у неё во столько же раз больше. Масса входит в формулу полноправным множителем, просто у транспорта она меняется реже скорости.
Между первой и последней строкой одиннадцать порядков — от тысячной доли джоуля у капли до сотни мегаджоулей у электрички. Это нормально: величина складывается из двух сомножителей, и каждый меняется в широких пределах.
Километры в час, метры в секунду и квадрат
Скорость в условии почти всегда дана в километрах в час, а формула считает в метрах в секунду. В километре 1000 метров, в часе 3600 секунд — отсюда и множитель.
1 м/с = 3,6 км/ч. Из км/ч в м/с — делим на 3,6, обратно — умножаем.
Цена этой ошибки здесь выше, чем в любой другой теме, и виноват квадрат: промах в скорости входит в ответ тоже в квадрате. Забыли поделить на 3,6 — ответ вырос не в 3,6 раза, а в 3,6², то есть почти в 13 раз. Автомобиль массой 1500 кг при 90 км/ч несёт 469 кДж; та же скорость, подставленная как «90», даёт 6,1 МДж.
Ловится это на глаз, без пересчёта: скорость наземного транспорта в метрах в секунду — это десятки, а не сотни. Получилось «автомобиль едет 90 м/с» — деление потеряно: 90 м/с это 324 км/ч.
Вторая ловушка — граммы. У пули, мяча, шайбы масса в условии почти всегда в граммах: 7,5 г это 0,0075 кг, а не 7,5. Промах ровно в тысячу раз, и в ответе он маскируется под правдоподобное число — 1350 Дж и 1 350 000 Дж одинаково «похожи на энергию пули»: по одному виду числа ошибку не заметить — сверяйте порядок со справочником выше.
Третья ловушка появляется при счёте на калькуляторе: m·v²/2 и (m·v)²/2 — разные вещи. Для той же машины при 25 м/с первое даёт 469 кДж, второе — 703 миллиона джоулей. Набрать всё подряд и возвести в квадрат в конце легко, а смысла у второй записи нет.
Как выразить другие величины
Двойка при перестановке не теряется: из знаменателя она переезжает в числитель. А квадрат, снимаясь со скорости, превращается в корень — и потому у скорости получается один ответ, а не два: отрицательного корня физика тут не берёт, тело просто идёт в ту сторону, в какую идёт.
Разбор задачи
Легковой автомобиль массой 1500 кг едет по загородной дороге со скоростью 90 км/ч. Найдите его кинетическую энергию. Во сколько раз она больше, чем у того же автомобиля в городе при 60 км/ч? Какой путь он пройдёт при экстренном торможении на сухом асфальте, если сила трения составляет 0,7 от силы тяжести?
- Переводим скорости в метры в секунду
v₁ = 90 : 3,6 = 25 м/с
v₂ = 60 : 3,6 = 16,7 м/с
Перевод делаем до подстановки: квадрат потом усилит любую ошибку. Вторая скорость нацело не делится, и 16,7 — уже сокращённая запись; в счёт ниже идёт само деление, а не она.
- Считаем энергию на трассе
Eк = 1500 · 25² / 2 = 1500 · 625 / 2 = 468 750 Дж
Сотни килоджоулей — обычный порядок для легкового автомобиля, значит не промахнулись единицей.
- Считаем энергию в городе и сравниваем
Eк₂ = 1500 · (60 / 3,6)² / 2 = 208 333 Дж
468 750 : 208 333 ≈ 2,25
То же число получается без счёта: скорости относятся как 90 : 60 = 1,5, значит энергии — как 1,5² = 2,25. Скорость выросла в 1,5 раза, а энергия — в 2,25 раза.
- Находим тормозной путь
Чтобы остановиться, машина должна израсходовать всю кинетическую энергию на работу против силы трения:
m·v²/2 = μ·m·g·S
S = v² / (2·μ·g) = 625 / (2 · 0,7 · 9,8) ≈ 46 м
Масса сократилась — и это не приём вывода, а ответ на вопрос, почему гружёный грузовик и пустая легковушка при одном и том же сцеплении проходят одинаковый тормозной путь. Энергии у грузовика больше, но и сила трения ровно во столько же раз больше.
- Ответ
Eк ≈ 469 кДж, это в 2,25 раза больше, чем при 60 км/ч; тормозной путь около 46 м
46 метров — путь машины, которая тормозит всем сцеплением шин с дорогой, а не то, что покажет обычная машина. И сцепление взято по худшему случаю: 0,7 — нижняя граница вилки 0,7—0,8 по сухому асфальту. Замедление при таком сцеплении — 6,9 м/с², а у шин, которые держат дорогу лучше, путь выйдет короче. Норматив установившегося замедления легкового автомобиля мягче — 4,9 м/с², и с таким замедлением с тех же 90 км/ч выходит 63,8 м. Это число и стоит в справочнике на странице про путь: разница между ним и нашим ответом — не ошибка, а разные допущения о том, как машина тормозит. Стандарт проверяет торможение в дорожных условиях с 40 км/ч одним из двух способов (ГОСТ 33997-2016, пункт 5.1.4.15): машина проходит, если уложилась в норматив тормозного пути или в нормативы замедления и времени срабатывания — и в обоих случаях при торможении не вышла из коридора движения установленной ширины. К любому из двух тормозных путей прибавляется путь за время реакции: пока водитель переносит ногу на педаль, проходит около секунды — на 90 км/ч это ещё 25 метров. Для резины справочник даёт по мокрому асфальту 0,35—0,45, по сухому асфальту 0,7—0,8, а в расчёте берут нижние границы обеих вилок: сцепление падает в 2 раза, и во столько же раз растёт тормозной путь. Само число 0,7 — это коэффициент сцепления шин с сухим асфальтом из справочника на странице силы трения, там же назван источник.
Второй пример, попроще
Определите кинетическую энергию пули, вылетевшей из ружья со скоростью 600 м/с, если масса пули 7,5 г.
m = 7,5 г = 0,0075 кг
Eк = 0,0075 · 600² / 2 = 0,0075 · 360 000 / 2 = 1350 Дж
Больше килоджоуля — в теле массой 7,5 г. Столько же несёт человек массой 60 кг, бегущий со скоростью 6,7 м/с — это 24 км/ч, заметно быстрее бега трусцой и заметно медленнее спринтера из справочника выше. Скорость бегуна тут не подобрана: она посчитана по той же формуле обратным ходом, v = √(2·Eк/m).
Сравнивать их интересно как раз потому, что различий два. Бегун тяжелее пули в 8000 раз, а пуля быстрее бегуна всего в 89 раз — и энергии всё-таки равны. Масса входит в формулу один раз, скорость дважды: квадрат отношения скоростей и есть отношение масс.
От чего зависит и от чего не зависит
От массы — прямо пропорционально: вдвое тяжелее тело при той же скорости, вдвое больше энергии. От скорости — как от её квадрата, и это главное содержание темы. Вот одна и та же машина массой 1500 кг на шести скоростях:
| v, км/ч | v, м/с | Eк | Во сколько раз больше, чем при 20 км/ч |
|---|---|---|---|
| 20 | 5,56 | 23,1 кДж | 1 |
| 40 | 11,1 | 92,6 кДж | 4 |
| 60 | 16,7 | 208 кДж | 9 |
| 80 | 22,2 | 370 кДж | 16 |
| 100 | 27,8 | 579 кДж | 25 |
| 120 | 33,3 | 833 кДж | 36 |
Последняя колонка и есть квадрат, записанный числами: скорость выросла втрое — энергия вдевятеро, вшестеро — в тридцать шесть раз. Отсюда же тормозной путь. Сила трения от скорости почти не зависит, а израсходовать нужно всю энергию — значит путь растёт вместе с её квадратом: со скорости 60 км/ч машина проходит около 20 м, со скорости 90 — около 46 м, со скорости 120 — около 81 м.
От направления движения энергия не зависит. Вверх, вниз, вперёд, назад — в формулу входит только модуль скорости. Мяч, брошенный вертикально вверх со скоростью 10 м/с, и мяч, брошенный вниз с той же скоростью, в момент броска несут поровну; различаться будет их дальнейшее движение, а не эта величина.
Не зависит она и от пути, которым тело разгонялось. По прямой или по серпантину, быстро или медленно — энергия определяется только тем, чему равна скорость сейчас.
И от высоты тоже. Самолёт на десяти километрах и такой же самолёт на взлётной полосе с той же скоростью имеют одинаковую кинетическую энергию. То, что связано с высотой, называется потенциальной энергией и считается другой формулой.
С чем путают
Энергия и импульс
Обе величины считаются по массе и скорости, обе описывают «сколько в теле движения», обе входят в законы сохранения — и это разные величины с разными единицами.
| p — импульс | Eк — кинетическая энергия | |
|---|---|---|
| Формула | p = m·v | Eк = m·v²/2 |
| Единица | кг·м/с | Дж |
| Направление | есть, это вектор | нет, это число |
| Скорость вдвое больше | вдвое больше | вчетверо больше |
| Знак | зависит от направления | всегда неотрицательна |
Отсюда два следствия. Равные импульсы не означают равных энергий: грузовик 10 т при 1 м/с и легковушка 1 т при 10 м/с имеют одинаковый импульс 10 000 кг·м/с, а энергии у них 5 кДж и 50 кДж — вдесятеро разные. И минус, законный у импульса, у энергии невозможен: получилось Eк = −200 Дж — потеряна скобка или квадрат применён не к тому множителю.
Энергия и скорость
«Быстрее вдвое» и «энергии вдвое больше» — не одно и то же. Вдвое быстрее значит вчетверо больше энергии. Обратное столь же неочевидно: чтобы удвоить энергию, скорость надо увеличить всего в 1,41 раза, то есть в корень из двух.
Энергия и работа
Единица у них одна, а вопросы разные. Работа — это то, что сделали над телом или что тело совершило; кинетическая энергия — то, чем тело обладает сейчас. Связь прямая: работа всех приложенных сил равна изменению кинетической энергии. Поэтому разогнать машину и остановить её стоит одинаковой работы, только в первом случае энергия прибавляется, а во втором отбирается.
Энергия и мощность
Мощность — это энергия, поделённая на время, и меряется в ваттах. Двигатель мощностью 100 кВт за пять секунд передаёт 500 кДж. Энергия отвечает на вопрос «сколько», мощность — «как быстро».
Кинетическая и потенциальная
Первая связана с движением, вторая — с положением. У летящего самолёта есть обе, у кружки на столе только вторая, у шайбы на льду только первая, если считать уровень льда нулевым. При падении одна переходит в другую, а сумма без трения остаётся прежней — это и есть закон сохранения механической энергии.
Проверка себя одной фразой: у энергии единица та же, что у работы, — джоуль. Вышли метры в секунду — найдена скорость, а не энергия.