Формулы свободного падения
9 классМеханика
Свободным падением называют движение тела под действием только силы тяжести, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Первая — сколько тело пролетело за время t, вторая — какую скорость оно наберёт к этому моменту. Обе формулы написаны для тела, которое отпустили без толчка: начальной скорости нет. Бросили — работают общие формулы равноускоренного движения.
Что означает каждая буква
Проверка размерности: (м/с²)·с² = м у высоты и (м/с²)·с = м/с у скорости. Единицы сходятся — значит подставлять надо метры и секунды.
g — не универсальная постоянная: на Луне и на планетах оно другое, и в таблице ниже видно, насколько. У поверхности Земли берут 9,8 м/с².
Чтобы ответ читался, скорость обычно переводят в километры в час — умножением на 3,6. В формулу подставляют метры в секунду.
Посчитать по формулам
Не хватает: ускорение свободного падения. Введите — покажу ответ, перевод единиц и всю подстановку.
Когда формула не работает
Формулы описывают падение в пустоте тела, которое отпустили. Вот где это перестаёт быть правдой.
Сопротивление воздуха стало заметным
Главная граница темы. Чем быстрее летит тело, тем сильнее его тормозит воздух; в какой-то момент сила сопротивления сравнивается с силой тяжести, ускорение обращается в ноль, и дальше тело летит с постоянной предельной скоростью. У десантной системы Д-6 серии 4 средняя скорость снижения на стабилизирующем парашюте 30—40 м/с, а на раскрытом основном куполе — не больше 5,0 м/с. Для лёгких тел граница наступает почти сразу: кусочек ваты падает с ускорением намного меньшим, чем g.
Тогда: формулы работают, пока в условии стоит «сопротивлением воздуха пренебречь» — для плотного тела и высоты в несколько метров это допущение оправдано, для парашютиста, капли и листа бумаги — нет
Высота слишком велика
Ускорение свободного падения убывает с высотой: чем дальше тело от центра Земли, тем слабее притяжение. Убывает медленно — у альпиниста массой 80 кг на горе высотой 3 км сила тяжести уменьшается на 0,7 Н, то есть на 0,09 %, и в школьных задачах g считают постоянным. Для ракеты в тысячах километров от Земли так считать уже нельзя.
Тогда: закон всемирного тяготения, где расстояние входит в формулу явно
Тело падает не с нулевой начальной скоростью
Обе формулы написаны для тела, которое отпустили. Бросили вниз или вверх — начальная скорость есть, и она входит в расчёт; у брошенного вверх тела скорость и ускорение направлены в разные стороны, а значит их проекции имеют разные знаки.
Тогда: общие формулы равноускоренного движения — с v₀ и знаками проекций →
Тело падает не в пустоте, а в жидкости
В воде на тело действует ещё и выталкивающая сила, и для многих тел она сравнима с силой тяжести или больше её — тогда тело не тонет вовсе.
Тогда: сила Архимеда, а перед ней — плотность тела и жидкости →
Тело падает на вращающуюся планету
Строго говоря, Земля из-за суточного вращения не является инерциальной системой отсчёта, и вес тела на экваторе немного меньше силы притяжения к Земле. Различие много меньше самих сил, поэтому в школьном курсе их считают равными. Вращение — одна из причин, по которым на экваторе g меньше, чем на полюсах; вторая — Земля немного сплюснута.
Справочник: ускорение свободного падения на телах Солнечной системы
| Небесное тело | g, м/с² | Во сколько раз отличается от земного | Как получено | Откуда число |
|---|---|---|---|---|
| Плутон | 0,62 | в 16 раз меньше | экваториальное значение; сравнение с земным — наш расчёт | JPL, Planetary Physical Parameters |
| Луна | около 1,6 | в 6 раз меньше | в учебнике: «в 6 раз меньше, чем на Земле»; 9,8 / 6 = 1,63 — наш расчёт | Пёрышкин, 9 класс, § 16 |
| Меркурий | 3,70 | в 2,6 раза меньше | экваториальное значение; сравнение с земным — наш расчёт | JPL, Planetary Physical Parameters |
| Марс | 3,71 | в 2,6 раза меньше | экваториальное значение; сравнение с земным — наш расчёт | JPL, Planetary Physical Parameters |
| Уран | 8,87 | на 9 % меньше | экваториальное значение; сравнение с земным — наш расчёт | JPL, Planetary Physical Parameters |
| Венера | 8,87 | на 9 % меньше | экваториальное значение; сравнение с земным — наш расчёт | JPL, Planetary Physical Parameters |
| Земля, экватор | 9,78 | — | в учебнике: «от 9,78 м/с² на экваторе до 9,83 м/с² на полюсах» | Пёрышкин, 9 класс, § 16 |
| Земля, расчётное без вращения | 9,80 | — | вычислено по массе и экваториальному радиусу Земли; что вращение в это число не входит, — наш вывод из способа расчёта | JPL, Planetary Physical Parameters |
| Земля, полюс | 9,83 | на 0,5 % больше экваториального | та же фраза учебника; сравнение с экваториальным — наш расчёт | Пёрышкин, 9 класс, § 16 |
| Сатурн | 10,44 | на 7 % больше | экваториальное значение; сравнение с земным — наш расчёт | JPL, Planetary Physical Parameters |
| Нептун | 11,15 | на 14 % больше | экваториальное значение; сравнение с земным — наш расчёт | JPL, Planetary Physical Parameters |
| Юпитер | 24,79 | в 2,5 раза больше | экваториальное значение; сравнение с земным — наш расчёт | JPL, Planetary Physical Parameters |
- JPL, Planetary Physical Parameters
- Лаборатория реактивного движения NASA (JPL Solar System Dynamics), таблица «Planetary Physical Parameters», колонка «Equatorial Gravity» — ускорение свободного падения на экваторе, вычисленное по массе и экваториальному радиусу планеты. Прочитано 14.09.2026. Источник
- Пёрышкин, 9 класс, § 16
- А. В. Пёрышкин, «Физика. 9 класс», § 16 «Ускорение свободного падения на Земле и других небесных телах». Источник
Параграфы учебника А. В. Пёрышкина сверены по его воспроизведению на сайте лена24.рф. Соавторов, издательство и год издания воспроизведение не называет, поэтому редакция не подтверждена: в другом издании номера параграфов, таблиц и упражнений могут отличаться.
Что из таблицы стоит вынести. Земное g не круглое и не единственное: даже на самой Земле оно меняется от 9,78 м/с² на экваторе до 9,83 на полюсах. Причин две: планета сплюснута, и до полюса от центра ближе, чем до экватора, а ещё она вращается — на экваторе суточное вращение «отнимает» у веса часть, на полюсе нет. У газовых планет поверхности нет, и g Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна в таблице — расчётное: его получили по массе планеты и её экваториальному радиусу. Встать там, где действует такое g, нельзя.
Уран и Венера дают одно и то же число 8,87 — при том что Уран несравнимо массивнее. Массу компенсирует радиус: он у Урана вчетверо больше, а расстояние в законе тяготения стоит в квадрате. И то же самое с другой стороны: на Юпитере 24,79 м/с², на Луне около 1,6 — прыжок на Луне поднимет вас в несколько раз выше, но масса тела при этом не изменится, изменится только вес.
9,8 или 10 и что считать высотой
В задачах встречаются оба значения g, и это не небрежность. Пусть тело падает 2 с: при 9,8 м/с² высота выходит 19,6 м, при 10 м/с² — 20 м. Разница около двух процентов, для школьной задачи несущественная.
Какое значение назвали в условии — с таким и считаем. Не назвали — берём 9,8 м/с² и говорим в ответе, с каким значением считали.
Сказано «принять g = 10 м/с²» — значит ответ в задачнике сверен именно с десяткой, и с 9,8 он не сойдётся.
Высота — это метры, а не этажи
Вторая ошибка тише и обиднее. В условии сказано «уронили с балкона пятого этажа» — и подставляют пятёрку. Высота этажа около трёх метров, и пол пятого этажа находится примерно в 12 м над землёй: межэтажных промежутков четыре, а не пять. В формуле с квадратом разница между 5 и 12 даёт разницу времени больше чем в полтора раза.
h — это путь вниз, а не размах
Мяч подбросили, и он вернулся в руку: тело прошло путь вверх и вниз, а переместилось на ноль. В формулу подставляют только время падения, считая от верхней точки. Подставить полное время полёта — значит получить высоту вчетверо больше настоящей.
Сколько летит и с какой скоростью прилетает
Таблица посчитана по формулам этой страницы для земного g = 9,8 м/с², без учёта сопротивления воздуха.
| Высота | Откуда падает | Время падения, с | Скорость у земли, м/с | Она же, км/ч |
|---|---|---|---|---|
| 0,8 м | уронили монетку из рук | 0,4 | 4 | 14 |
| 1 м | со стола | 0,45 | 4,4 | 16 |
| 2 м | с вытянутой вверх руки | 0,64 | 6,3 | 23 |
| 3 м | потолок, высота одного этажа | 0,78 | 7,7 | 28 |
| 5 м | окно второго этажа | 1 | 9,9 | 36 |
| 10 м | крыша трёхэтажного дома | 1,4 | 14 | 50 |
| 15 м | крыша пятиэтажки | 1,7 | 17 | 62 |
| 45 м | обрыв или высотное здание | 3 | 30 | 107 |
Из таблицы сразу видно: время падения растёт куда медленнее высоты. Высота выросла в десять раз, с 1 до 10 м, а время всего втрое — это тот же корень, что и в записи t = √(2h/g). И со второго этажа тело прилетает быстрее, чем бегает человек, а с крыши пятиэтажки — со скоростью машины в городе: отсюда и разница в последствиях, из-за которой высота считается опасной так рано.
Как выразить другие величины
Есть и запись, связывающая высоту со скоростью напрямую, без времени: v = √(2gh), и обратная ей h = v²/(2g). По ней сразу видно: скорость растёт как корень из высоты — вчетверо большая высота даёт вдвое большую скорость, а не вчетверо.
Разбор задач
С какой высоты свободно падала сосулька, если расстояние до земли она преодолела за 4 с? Какую скорость она набрала к моменту удара?
- Считаем высоту
h = g·t²/2 = 9,8 · 4² / 2 = 78,4 м
- Считаем скорость у земли
v = g·t = 9,8 · 4 = 39,2 м/с
Переведём, чтобы число читалось: 39,2 · 3,6 = 141 км/ч.
- Проверяем, похоже ли на правду
Семьдесят восемь метров — это примерно двадцатипятиэтажный дом; с крыши обычной пятиэтажки падение заняло бы меньше двух секунд, что видно и по таблице выше. Вторая проверка — на самом расчёте: средняя скорость падения равна половине конечной, то есть 19,6 м/с, а путь 19,6 · 4 = 78,4 м. Сошлось.
- Ответ
h = 78,4 м; v = 39,2 м/с (141 км/ч)
Второй пример: с округлённым g
Маленький стальной шарик упал с высоты 45 м. Сколько длилось падение и какой путь шарик прошёл за первую и за последнюю секунду? Принять g = 10 м/с².
t = √(2h/g) = √(2 · 45 / 10) = √9 = 3 с
Круглый ответ — признак того, что высота 45 м подобрана под десятку: с точным значением g вышло бы 3,03 с.
h₁ = 10 · 1² / 2 = 5 м
за первые две секунды: 10 · 2² / 2 = 20 м
за третью секунду: 45 − 20 = 25 м
Проверка: пути за первую, вторую и третью секунды относятся как 1 : 3 : 5 — ряд нечётных чисел, как и положено движению без начальной скорости. За последнюю секунду шарик пролетает впятеро больше, чем за первую; именно поэтому падение «с небольшой высоты» и «чуть повыше» кончаются очень по-разному.
Третий пример, попроще
Определите время падения монетки, если её выронили из рук на высоте 80 см над землёй. Принять g = 10 м/с².
Сначала переводим высоту в метры: 80 см = 0,8 м.
t = √(2 · 0,8 / 10) = √0,16 = 0,4 с
Правдоподобие: четыре десятых секунды — примерно столько и длится падение монетки, выроненной из рук, заметить успеваешь, а поймать нет.
От чего зависит и от чего не зависит
Зависит
- От высоты — время растёт как корень из неё: вчетверо выше — вдвое дольше падать.
- От ускорения свободного падения. На Луне то же тело с той же высоты будет падать примерно в два с половиной раза дольше: время обратно пропорционально корню из g.
Не зависит
- От массы тела. В откачанной трубке пёрышко и дробинка достигают дна одновременно.
- От формы и размера — в пустоте. В воздухе форма решает многое, но это уже сопротивление воздуха, а не притяжение.
Отсюда и главная проверка себя: если масса тела понадобилась в ответе, задача не про свободное падение, а про силу тяжести или про энергию. В решении через энергию масса появляется, но сокращается.
С чем путают
Ускорение и скорость
Ускорение падения одно и то же на всём пути — 9,8 м/с², — а скорость всё время растёт. Фраза «падает с ускорением 39 м/с» бессмысленна: в ответе про ускорение единица обязана быть м/с².
Масса и вес
Масса при переезде на Луну не меняется, вес меняется: он зависит от g. Именно поэтому на Луне прыгается выше, а инерция тела остаётся прежней — толкать его так же тяжело.
Сила тяжести и ускорение свободного падения
Fтяж = m·g — сила, измеряется в ньютонах и зависит от массы; g — ускорение, м/с², и от массы не зависит вовсе. Разбор силы — на странице силы тяжести.
«Свободное падение» и «падение»
Свободное — это без сопротивления воздуха. Настоящее падение в воздухе свободное только приблизительно, и чем легче тело и длиннее путь, тем хуже приближение: у парашютиста под куполом от свободного падения не остаётся ничего.