Формулы равноускоренного движения
9 классМеханика
Равноускоренное движение — то, при котором скорость меняется на одну и ту же величину за каждую секунду.
Первая читается по смыслу: к начальной скорости прибавили то, что набежало за время t. Вторая складывается из двух частей: путь, который тело прошло бы с прежней скоростью, плюс добавка от разгона. Обе записи верны для прямолинейного движения с постоянным ускорением.
Что означает каждая буква
Проверка размерности второй формулы: (м/с)·с + (м/с²)·с² = м + м = м. Единица сходится — значит подставлять надо метры, метры в секунду и секунды.
Если тело трогается с места, v0 = 0, и обе формулы становятся короче: v = a·t и s = a·t²/2. Именно в таком виде их чаще всего и спрашивают.
Скорость в условии почти всегда дана в километрах в час, а формулы считают в метрах в секунду: делить надо на 3,6. Грубее всего ошибка перевода выходит в тормозном пути: в s = v₀² / (2·|a|) скорость стоит в квадрате. Легковая машина тормозит с 40 км/ч, замедление 4,9 м/с²: подставьте в формулу 40 вместо 11,1 — и путь выйдет 163 м вместо 12,6. Подробный разбор перевода — на странице ускорения.
Посчитать по формулам
Не хватает: начальная скорость. Введите — покажу ответ, перевод единиц и всю подстановку.
Время по пути при ненулевом ускорении находят из квадратного уравнения: корней у него два, и нужный выбирают по условию задачи.
Когда формулы не работают
Обе формулы описывают прямолинейное движение с постоянным ускорением. Вот где это перестаёт быть правдой.
Ускорение не постоянно на протяжении промежутка
Настоящий разгон идёт неровно: на первой передаче резче, к переключению слабее, на высокой скорости мешает воздух. Подставив одно среднее ускорение, вы получите верную конечную скорость и приблизительный путь — но того, что происходило внутри промежутка, из этого расчёта не узнать. Признак: у вас есть два замера скорости и ничего между ними.
Тогда: смотрите график скорости от времени. У равноускоренного движения он прямой, и площадь под ним и есть путь; линия гнётся — движение одним ускорением не описывается
Тело остановилось раньше, чем кончился промежуток
Самая частая ошибка в задачах на торможение. Автомобиль тормозит с 20 м/с при a = −5 м/с² и останавливается через 4 с. Подставьте t = 6 с — формула всё равно посчитает дальше: даст скорость −10 м/с и путь меньше настоящего, как будто машина, остановившись, поехала задним ходом. Условия «остановился — стой» в формуле нет и быть не может.
Тогда: сначала найдите время остановки t = v₀ / |a|, сравните его со временем из условия и считайте по меньшему из двух
Движение не прямолинейное
Обе формулы написаны для движения вдоль прямой. На повороте скорость меняется ещё и по направлению, и складывать надо векторы, а не числа: сумма «20 м/с на север» и «20 м/с на восток» — это не 40 м/с.
Тогда: движение по окружности и центростремительное ускорение a = v² / R — 9 класс
Тело развернулось и поехало обратно
Тогда s из второй формулы — это проекция перемещения, а не пройденный путь, и они разные: тело, уехавшее на 30 м и вернувшееся, прошло 60 м, а переместилось на ноль.
Тогда: считайте по кускам — до остановки и после неё, с учётом знаков проекций, — и складывайте пути отдельно от перемещений
Сопротивление воздуха стало заметным
При падении с большой высоты, у лёгких тел и на больших скоростях воздух тормозит тело всё сильнее, и ускорение перестаёт быть постоянным. Формулы дают тогда скорость, которой у тела никогда не будет.
Справочник: разгон и торможение техники
| Что происходит | Ускорение, м/с² | Что за это время | Путь, м | Как получено | Откуда число |
|---|---|---|---|---|---|
| Улитка ползёт (равноускоренно) | 0,000025 | за 60 с наберёт 1,5 мм/с | 0,045 | в учебнике: 0,5 см за первые 20 с, 1,5 см за вторые, 2,5 см за третьи; путь — сумма этих перемещений, ускорение и скорость — наш расчёт | Пёрышкин, 9 класс, § 8 |
| Обычный пассажирский лифт средней мощности | 0,4 | за 3 с разгона наберёт 1,2 м/с | 1,8 | в учебнике скорость за каждую секунду разгона увеличивается на 0,4 м/с; разгон с места в течение 3 с — наш пример, скорость и путь — наш расчёт | Пёрышкин, 9 класс, § 5 |
| Санки скатываются с горы | 0,4 | с 0,4 до 2 м/с за 4 с | 4,8 | задача решена в учебнике, ответ 0,4 м/с²; путь — наш расчёт | Пёрышкин, 9 класс, § 5 |
| Поезд отходит от станции | 0,5 | за 60 с наберёт 30 м/с (108 км/ч) | 900 | в учебнике поезд «на некотором участке пути» за 12 с увеличил скорость на 6 м/с, 6 / 12 — наш расчёт; разгон с места в течение минуты — наше допущение, скорость и путь — наш расчёт | Пёрышкин, 9 класс, § 5, упражнение 5 |
| Скоростной лифт | 1,2 | за 3 с разгона наберёт 3,6 м/с | 5,4 | в учебнике скорость за каждую секунду разгона увеличивается на 1,2 м/с; разгон с места в течение 3 с — наш пример, скорость и путь — наш расчёт | Пёрышкин, 9 класс, § 5 |
| Самолёт разгоняется по взлётной полосе | 1,5 | с 10 до 55 м/с за 30 с | 975 | скорости и время — из задачи учебника; ускорение и путь — наш расчёт | Пёрышкин, 9 класс, § 5, упражнение 5 |
| Легковой автомобиль LADA Vesta седан (1,6 л, 5МТ), разгон «до сотни» | около 2,5 | 0 → 27,8 м/с за 11,3 с | около 157 | время разгона 11,3 с — паспортное; ускорение и путь — наш расчёт | LADA Vesta седан, lada.ru |
| Грузовой автомобиль тормозит, норматив | не менее 4,4 | с 40 км/ч (11,1 м/с) до нуля за 2,5 с | 14,0 | замедление и скорость проверки — из стандарта; время и путь — наш расчёт | ГОСТ 33997-2016, таблица 4.4, категории N2, N3 |
| Легковой автомобиль тормозит, норматив | не менее 4,9 | с 40 км/ч (11,1 м/с) до нуля за 2,3 с | 12,6 | замедление и скорость проверки — из стандарта; время и путь — наш расчёт | ГОСТ 33997-2016, таблица 4.4, категория M1 |
| Экстренное торможение на сухом асфальте | примерно 6,9–7,8 | с 60 км/ч (16,7 м/с) до нуля за 2,1–2,4 с | 17,7–20,2 | оценка a = μ·g при коэффициенте сцепления 0,7–0,8 (справочник трения); умножение на g, время и путь — наш расчёт | коэффициент сцепления, Минобрнауки, 2015 |
| Свободное падение у поверхности Земли | 9,8 | за 1 с наберёт 9,8 м/с | 4,9 | «ускорение свободного падения считают равным 9,8 м/с²», пренебрегая его уменьшением с высотой; скорость и путь — наш расчёт | Пёрышкин, 9 класс, § 16 |
- Пёрышкин, 9 класс, § 5
- А. В. Пёрышкин, «Физика. 9 класс», § 5 «Прямолинейное равноускоренное движение. Ускорение»: пример с лифтами в тексте параграфа, задача про санки на участке АВ (рис. 8, а) с решением. Источник
- Пёрышкин, 9 класс, § 5, упражнение 5
- А. В. Пёрышкин, «Физика. 9 класс», § 5 «Прямолинейное равноускоренное движение. Ускорение», упражнение 5, задачи 2 и 3. Источник
- Пёрышкин, 9 класс, § 8
- А. В. Пёрышкин, «Физика. 9 класс», § 8 «Перемещение тела при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости», пример с улиткой. Источник
- Пёрышкин, 9 класс, § 16
- А. В. Пёрышкин, «Физика. 9 класс», § 16 «Ускорение свободного падения на Земле и других небесных телах». Источник
- LADA Vesta седан, lada.ru
- Официальный сайт LADA (АО «АВТОВАЗ»), страница «Рекомендованные розничные цены для Vesta седан», характеристика «Время разгона 0-100 км/ч, с»: 11,3 с у модификации 1,6 л, 106 л. с., 5МТ. Прочитано 14.09.2026; сайт оговаривает, что характеристики носят справочный характер. Источник
- ГОСТ 33997-2016, таблица 4.4, категории N2, N3
- ГОСТ 33997-2016 «Колёсные транспортные средства. Требования к безопасности в эксплуатации и методы проверки», таблица 4.4, строка категорий N2, N3: установившееся замедление не менее 4,4 м/с²; начальная скорость проверки 40 км/ч — пункт 4.1.3. Официальное издание стандарта не прочитано: текст сверен по публикации в правовой базе sudact.ru, где документ лежит одной страницей; таблица 4.4 и пункт 4.1.3 — в разделе 4.1 «Требования к тормозным системам». Источник
- ГОСТ 33997-2016, таблица 4.4, категория M1
- ГОСТ 33997-2016 «Колёсные транспортные средства. Требования к безопасности в эксплуатации и методы проверки», таблица 4.4, строка категории M1: установившееся замедление не менее 4,9 м/с²; начальная скорость проверки 40 км/ч — пункт 4.1.3. Официальное издание стандарта не прочитано: текст сверен по публикации в правовой базе sudact.ru, где документ лежит одной страницей; таблица 4.4 и пункт 4.1.3 — в разделе 4.1 «Требования к тормозным системам». Источник
- коэффициент сцепления, Минобрнауки, 2015
- Письмо Минобрнауки России от 18.08.2015 № АК-2288/06, методические рекомендации к примерным программам профессионального обучения водителей, таблица 3 «Значения коэффициента сцепления шин с дорогой для различных дорожных условий». Источник
Параграфы учебника А. В. Пёрышкина сверены по его воспроизведению на сайте лена24.рф. Соавторов, издательство и год издания воспроизведение не называет, поэтому редакция не подтверждена: в другом издании номера параграфов, таблиц и упражнений могут отличаться.
Что из таблицы видно сразу. Разгоняется техника медленнее, чем тормозит: поезд набирает 0,5 м/с за секунду, а тормозящий легковой автомобиль теряет в 9,8 раза больше — двигатель разгоняет долго, трение шин останавливает быстро. Путь и ускорение — не одно и то же: у самолёта ускорение в 2,9 раза меньше, чем у тормозящего грузовика, а путь в 70 раз больше — разгон длится полминуты, а торможение пару секунд.
Разгон с места: путь растёт как квадрат времени
Это главное, что стоит вынести со страницы. Возьмём тело, которое трогается с места. Скорость у него растёт ровно: вдвое больше времени — вдвое больше скорость. Путь растёт как квадрат: вдвое больше времени — вчетверо больше путь.
Смотрим, что будет через равные промежутки:
| Прошло времени | Скорость | Путь от старта |
|---|---|---|
| t | v | s |
| 2t | 2v | 4s |
| 3t | 3v | 9s |
| 4t | 4v | 16s |
Отношение путей 1 : 4 : 9 : 16 — ряд квадратов. А если смотреть не «от старта», а за каждый очередной промежуток, получится ряд нечётных чисел: 1 : 3 : 5 : 7. Оба ряда — признак разгона с места. Если начальная скорость есть, рядов уже нет, но пути за соседние равные промежутки T всё равно отличаются на одно и то же: на a·T².
Скорость вдвое больше — тормозной путь вчетверо длиннее. В записи без времени s = v₀² / (2·|a|) стоит квадрат скорости. Модуль здесь потому, что при торможении ускорение отрицательное, а путь — нет.
Отсюда и две вещи, которые обычно спрашивают следом. «Половина пути» и «половина времени» — разные точки: при разгоне с места первую половину пути тело проходит примерно за 0,7 всего времени. И средняя скорость равна полусумме начальной и конечной, (v₀ + v)/2, — но только при постоянном ускорении.
Как выразить другие величины
Есть и ещё одна запись: v² − v₀² = 2·a·s — связь скорости и пути без времени. Она незаменима, когда времени в условии не дают: тормозной путь считают именно так, s = v₀² / (2·|a|).
Разбор задач
Поезд отходит от станции с постоянным ускорением 0,5 м/с². Какую скорость он наберёт за минуту и какой путь за это время пройдёт?
Ускорение взято из задачи учебника (Пёрышкин, 9 класс, § 5, упражнение 5), но там поезд разгоняется «на некотором участке пути». Старт с места и минута разгона — условия нашего примера.
- Переводим время в секунды
t = 1 мин = 60 с
Формулы работают только с секундами.
- Считаем скорость
v = 0 + 0,5 · 60 = 30 м/с
Переведём обратно, чтобы ответ читался: 30 · 3,6 = 108 км/ч.
- Считаем путь
Начальной скорости нет, значит s = a·t²/2.
s = 0,5 · 60² / 2 = 900 м
- Проверяем, похоже ли на правду
Скорость росла равномерно, поэтому путь можно найти и через среднюю скорость: (0 + 30)/2 = 15 м/с, за 60 с это 15 · 60 = 900 м. Сошлось.
- Ответ
v = 30 м/с (108 км/ч); s = 900 м
В счёт значащих цифр не идёт время: это точное число по условию (минута — это ровно 60 с). Точность ответа задаёт ускорение: одна значащая цифра (0,5). Ответ 900 м в эту точность укладывается — округлять нечего. Почему столько цифр
Второй пример: торможение по нормативу
Легковой автомобиль тормозит с 40 км/ч с замедлением 4,9 м/с² — это норматив установившегося замедления для легковой машины. За какое время он остановится и какой путь пройдёт?
v₀ = 40 / 3,6 = 11,1 м/с
t = (0 − 11,1) / (−4,9) = 2,3 с
Оба минуса сократились: время положительное, как и положено длительности.
s = v₀² / (2·|a|) = 11,1² / (2 · 4,9) = 12,6 м
Стандарт проверяет торможение в дорожных условиях с 40 км/ч одним из двух способов (ГОСТ 33997-2016, пункт 5.1.4.15): машина проходит, если уложилась в норматив тормозного пути или в нормативы замедления и времени срабатывания — и в обоих случаях при торможении не вышла из коридора движения установленной ширины. У легковой это путь не больше 16,6 м — или замедление не меньше 4,9 м/с² при срабатывании не дольше 0,6 с. Наш расчёт дал 12,6 м, меньше норматива пути, и ошибки тут нет: путь стандарт меряет от начала торможения, а тормоза схватывают не сразу. Время срабатывания длится от начала торможения, пока замедление не установится, и складывается из двух частей (приложение В, пункт В.2, шаг 14): сначала запаздывание — машина едет прежним ходом, потом нарастание замедления до полного. Поэтому всё время срабатывания на скорость умножать нельзя: прежним ходом машина едет только первую его часть.
Из чего складывается тормозной путь, видно по формуле, которой стандарт разрешает считать его по измеренным замедлению и временам (приложение А, пункт А.3): Sт = v₀/3,6 · (t + 0,5·tн) + v₀²/(26·jуст). Скорость v₀ здесь в км/ч, t — запаздывание, tн — нарастание, jуст — установившееся замедление, то есть |a|, когда тормоза уже схватили полностью. Второе слагаемое — формула этой страницы: 26 — это округлённое 2 · 3,6², перевод км/ч в м/с, спрятанный в знаменатель, и 1600 / (26 · 4,9) даёт те же 12,6 м. Первое — путь за срабатывание: в нём запаздывание идёт полным ходом, а от нарастания взята половина.
Дальше наш расчёт по этой формуле — в самом стандарте таких чисел нет. Если машина тормозит ровно с 4,9 м/с², на первое слагаемое из норматива пути остаётся 16,6 − 12,6 = 4,0 м, а при 11,1 м/с это 0,36 с. Отсюда наш вывод: чтобы такая машина уложилась в 16,6 м, запаздыванию вместе с половиной нарастания нужно не больше 0,36 с. Требования «0,36 с» в стандарте нет — это следствие формулы А.3.
А теперь то, ради чего задача. Тот же автомобиль на вдвое большей скорости, 80 км/ч (22,2 м/с): s = 22,2² / (2 · 4,9) = 50,3 м. Скорость выросла вдвое, путь на полном замедлении — вчетверо.
Третий пример, попроще
Отходящий от станции поезд движется равноускоренно. За третью секунду от начала движения он прошёл 2 м. Какой путь он прошёл за первую секунду и с каким ускорением ехал?
Пути за первую, вторую, третью секунды относятся как 1 : 3 : 5. На третью секунду приходится пять таких долей, на первую — одна, значит первая даёт впятеро меньше:
s₁ = 2 / 5 = 0,4 м
Дальше ускорение — из формулы разгона с места за первую секунду:
a = 2·s₁ / t² = 2 · 0,4 / 1² = 0,8 м/с²
Проверка: за три секунды поезд должен пройти вдевятеро больше, чем за первую, — путь растёт как квадрат времени. Считаем напрямую: s = 0,8 · 3² / 2 — и получается то же число. Ускорение 0,8 м/с² того же порядка, что у поезда из учебника в справочнике, — 0,5 м/с².
От чего зависит и от чего не зависит
Зависит
- От начальной скорости. Тело, которое уже ехало, за то же время уедет дальше — ровно на v₀·t.
- От ускорения — прямо пропорционально: вдвое большее ускорение даёт вдвое большую прибавку к скорости и вдвое больший разгонный кусок пути.
- От времени — по-разному в двух формулах. При разгоне с места скорость растёт пропорционально времени, а путь — пропорционально его квадрату. Если начальная скорость есть, к ним прибавляются v₀ и v₀·t, и пропорциональности уже нет.
Не зависит
- Ускорение не зависит от того, какая скорость у тела сейчас. Его задают сила и масса, a = F/m, а скорость — то, что из него получается.
И ещё одно, чего формулы не знают: что происходило до начала отсчёта. Они описывают промежуток от момента, когда скорость была v₀. Стоял поезд перед этим час или, наоборот, тормозил — на расчёт это не влияет.
С чем путают
Путь и скорость
| v — скорость | s — путь | |
|---|---|---|
| На какой вопрос отвечает | как быстро едет в конце | сколько проехало всего |
| Единица | м/с | м |
| Как растёт со временем при разгоне с места | пропорционально t | пропорционально t² |
Проверка себя одной фразой: в ответе на вопрос «какой путь» единица обязана быть метром. Получились м/с — вы посчитали скорость.
Путь и перемещение
Пока тело едет по прямой в одну сторону, они совпадают. Развернулось — расходятся: путь продолжает копиться, а перемещение может и уменьшиться. Формула этой страницы считает проекцию перемещения, поэтому при развороте она даёт не то, что показал бы одометр. Подробнее — на странице пути.
Средняя скорость и полусумма скоростей
Полусумма (v₀ + v)/2 работает при постоянном ускорении и для равных промежутков времени. Если машина полпути ехала 20 км/ч, а полпути 60 км/ч, средняя будет вовсе не 40: на медленном участке она провела больше времени.
Равноускоренное и равномерное
При равномерном движении a = 0, и формулы превращаются в v = v₀ и s = v₀·t. Это не другой раздел физики, а тот же расчёт с нулевым ускорением.
«Равнозамедленное движение»
Отдельной формулы для него нет: торможение — то же равноускоренное движение с отрицательным ускорением. Ошибка возникает, когда минус ставят дважды — и внутри значения a, и перед всей формулой. Минус нужен один раз, внутри a.