Формула потенциальной энергии
7 классРабота, мощность, энергия
Потенциальная энергия — это энергия, которая определяется положением тела, например высотой, на которую его подняли. Измеряется в джоулях (Дж).
Ни масса, ни высота не возводятся в степень: обе входят первой. Формулу применяют к телу вблизи поверхности Земли — там, где притяжение можно считать одинаковым на всей высоте подъёма.
Что означает каждая буква
Проверка размерности: кг · Н/кг · м = Н·м = Дж. Единица сходится с работой — как и должно быть: потенциальная энергия и есть запасённая работа, которую совершит сила тяжести, пока тело падает.
g — не мировая постоянная, а местное значение: 9,8 Н/кг у поверхности Земли, около 1,6 Н/кг на Луне. Ньютон на килограмм и метр на секунду в квадрате — одна и та же единица, записанная с двух сторон.
Само по себе значение потенциальной энергии смысла не имеет — только разность. Книга массой 0,7 кг имеет ноль джоулей относительно столешницы, 5,1 Дж относительно пола и 87 Дж относительно земли под окном пятого этажа. Все три числа верны.
Отсюда первое практическое правило темы: перед расчётом выбирают нулевой уровень и говорят о нём вслух. Стол, пол, земля, дно колодца — годится любой; не годится только не выбрать никакого. Учебник и сам говорит об этом прямо: энергию тела, лежащего на Земле, считают равной нулю, то есть принимают соглашение, а не обнаруживают его в природе.
Посчитать по формуле
Не хватает: масса тела. Введите — покажу ответ, перевод единиц и всю подстановку.
Когда формула не работает
Формула описывает тело, поднятое над выбранным уровнем вблизи поверхности Земли, и считает энергию, связанную с положением, а не с деформацией. Вот где это перестаёт быть правдой.
Нулевой уровень в задаче не выбран
Кружка на столе имеет 2,6 Дж относительно пола и ровно ноль относительно столешницы. Оба числа верны: потенциальная энергия говорит не о теле, а о паре «тело и уровень, от которого его считают». Пока уровень не назван, у вопроса «какова энергия» ответа нет — и это не придирка, а частая причина расхождений с задачником: ответ там посчитан от земли, а решение — от пола комнаты.
Высота сравнима с радиусом Земли
В формуле g стоит одним и тем же числом на всей высоте подъёма, а притяжение с высотой слабеет — и чем выше, тем сильнее формула завышает ответ. Радиус Земли около 6371 км, и школьные высоты рядом с ним мелочь: на 10 км завышение около 0,16 %, его не заметит никакая задача. На высоте Международной космической станции (около 418 км) притяжение составляет уже 88—90 % от притяжения у моря, и завышение доходит до 6,5 %. А для геостационарной орбиты (35 786 км) формула ошибается в шесть с лишним раз.
Тогда: энергию в поле тяготения считают через закон всемирного тяготения и расстояние до центра Земли, а не через высоту над поверхностью (9 и 10 класс). Для всего, что происходит в пределах нескольких километров над землёй, школьная формула годится
Тело поднимают не на Земле
В формуле стоит местное значение g, а не мировая постоянная. На Луне ускорение свободного падения равно 1,62 м/с² — примерно в шесть раз меньше земного, и груз массой 20 кг, поднятый на 2 метра, запасёт там 65 Дж вместо земных 392. Ошибка возникает не в формуле, а в подстановке: 9,8 подставляют не задумываясь, потому что в девяти задачах из десяти это верно.
Энергия запасена в пружине, резинке или тетиве
Сжатая пружина доводчика, натянутая тетива, закрученная пружина часов — всё это тела с потенциальной энергией, но не с той, что считается по m·g·h. Их энергия связана не с положением над Землёй, а с деформацией. Спутать легко: слово «потенциальная» одно и то же, и учебник разбирает оба случая в одном параграфе.
Тогда: энергию упруго деформированного тела считают через жёсткость и величину деформации — k·(Δx)²/2, в пределах закона Гука
Высоту отмерили до нижнего края тела, а не до его центра тяжести
У мелких тел разница незаметна, у крупных — нет. Столб длиной 6 м, поставленный вертикально, поднят нижним концом на ноль метров, а центром тяжести — на три; именно эти три метра и идут в формулу. У человека ростом 1,8 м, стоящего на полу, центр тяжести примерно на метре от пола: при подъёме на этаж поправка мала, а в задаче про подъём из положения лёжа она и есть весь ответ.
Тогда: берут высоту центра тяжести. У однородного тела правильной формы он лежит в геометрическом центре — у столба посередине, у шара в центре, у плиты на пересечении диагоналей
Справочник: потенциальная энергия поднятых тел
| Что поднято | m | h | Eп | Откуда числа |
|---|---|---|---|---|
| Учебник физики на парте | 0,3 кг | 0,75 м | 2,2 Дж | оценка |
| Кружка на столе | 0,35 кг | 0,75 м | 2,6 Дж | оценка |
| Яблоко на ветке | 0,2 кг | 3 м | 5,9 Дж | оценка |
| Рюкзак, поднятый с пола на стол | 4 кг | 0,75 м | 29 Дж | оценка |
| Ведро воды на бортике колодца | 10 кг | 1 м | 98 Дж | расчёт по ρ |
| Кирпич на строительных лесах | 3,5 кг | 4 м | 137 Дж | расчёт по ρ и ГОСТ 530-2012 |
| Гиря, поднятая над головой | 16 кг | 2 м | 314 Дж | оценка |
| Человек подпрыгнул | 70 кг | 0,5 м | 343 Дж | оценка |
| Велосипед, занесённый на третий этаж | 15 кг | 6 м | 882 Дж | оценка |
| Штанга над головой | 100 кг | 2 м | 2,0 кДж | оценка |
| Прыгун на десятиметровой вышке | 60 кг | 10 м | 5,9 кДж | оценка |
| Тело из школьного упражнения | 100 кг | 10 м | 9,8 кДж | Пёрышкин, 7 класс, § 67, упражнение 34 |
| Молот копра перед ударом | 500 кг | 3 м | 14,7 кДж | оценка |
| Человек поднялся на девятый этаж | 70 кг | 24 м | 16,5 кДж | оценка |
| Лифт с пассажирами на девятом этаже | 700 кг | 24 м | 165 кДж | оценка |
| Кубометр воды перед плотиной | 1000 кг | 20 м | 196 кДж | оценка |
| Самолёт на высоте эшелона | 45 т | 10 км | 4,4 ГДж | оценка |
- оценка
- Наша оценка порядка величины: масса и высота взяты круглыми для обычного случая, источника у этих чисел нет. Энергия посчитана по формуле Eп = m·g·h при g = 9,8 Н/кг относительно пола или земли.
- расчёт по ρ
- Наш расчёт массы по плотности: объём ведра принят 10 л, плотность чистой воды 1000 кг/м³ — А. В. Пёрышкин, «Физика. 7 класс», § 22 «Плотность вещества», таблица 3 «Плотности некоторых жидкостей». Высота — наша оценка. Источник
- расчёт по ρ и ГОСТ 530-2012
- Наш расчёт массы: номинальные размеры кирпича нормального формата (одинарного) 250 × 120 × 65 мм — ГОСТ 530-2012 «Кирпич и камень керамические. Общие технические условия», пункт 3.2; плотность кирпича 1800 кг/м³ — учебник Пёрышкина, 7 класс, § 22, таблица 2 (адрес параграфа — у строки с ведром). 0,25 · 0,12 · 0,065 · 1800 ≈ 3,5 кг. Высота лесов — наша оценка. Текст стандарта сверен по публикации на meganorm.ru 15.09.2026. Источник
- Пёрышкин, 7 класс, § 67, упражнение 34
- А. В. Пёрышкин, «Физика. 7 класс», § 67 «Потенциальная и кинетическая энергия», упражнение 34, задача 1: тело массой 100 кг на высоте 10 м. Энергия — наш расчёт. Источник
Параграфы учебника А. В. Пёрышкина сверены по его воспроизведению на сайте лена24.рф. Соавторов, издательство и год издания воспроизведение не называет, поэтому редакция не подтверждена: в другом издании номера параграфов, таблиц и упражнений могут отличаться.
Масса и высота входят в формулу на равных. Человек на девятом этаже и лифт на том же этаже подняты на одну высоту, а энергии у лифта вдесятеро больше — ровно во столько, во сколько он тяжелее.
Бытовые числа мелкие, а «рабочие» — крупные. Всё, что человек поднимает руками, укладывается в единицы килоджоулей. Сотни килоджоулей начинаются там, где сотни килограммов и тонны поднимают на десятки метров: кубометр воды перед двадцатиметровой плотиной запасает 196 кДж, лифт с пассажирами на девятом этаже — 165 кДж.
Молот копра для того и поднимают, чтобы уронить. Запасённые пятнадцать килоджоулей уходят на работу по забиванию сваи — это и есть буквальный смысл слова «потенциальная», от латинского «возможность».
Строка справочника без указания уровня — это половина ответа. Здесь уровнем принят пол или земля — как у самого предмета: у кружки на столе отсчёт от пола, у яблока на ветке — от земли.
Метры, этажи и граммы
Здесь ошибаются не в формуле, а в том, что в неё подставляют. Высота идёт в метрах: 75 см — это 0,75 м, а не 75. Промах ровно в сто раз, и в ответе он выглядит правдоподобно: 2 Дж и 200 Дж одинаково «похожи на энергию книги», пока не с чем сравнить. С массой то же самое и кратно тысяче: 500 г — это 0,5 кг.
Отдельная история — этажи. На этаж жилого дома приходится около 3 метров, но между первым и третьим этажами два перекрытия, а не три: пол третьего этажа отстоит от земли примерно на шесть метров, а не на девять. На этом часто теряют ответ в задачах про подъём по лестнице.
| Что дано | Перекрытий пройдено | Что подставлять |
|---|---|---|
| 2-й этаж | 1 | около 3 м |
| 3-й этаж | 2 | около 6 м |
| 5-й этаж | 4 | около 12 м |
| 9-й этаж | 8 | около 24 м |
Про g: учебник даёт 9,8 Н/кг и разрешает считать по 10, когда большой точности не требуется. Разница около двух процентов — тело массой 100 кг на высоте 10 м даёт 9800 Дж при 9,8 и 10 000 Дж при 10. На школьный ответ это не влияет, но смешивать два значения внутри одной задачи нельзя: сказано «принять g = 10» — так и считайте до конца, иначе ответ не сойдётся с задачником.
Как выразить другие величины
Это одно равенство, переставленное двумя способами: делят на то, что известно, и оставляют слева искомое. Ускорение свободного падения так не ищут — его берут из справочника по тому месту, о котором идёт речь.
Разбор задачи
Мешок цемента массой 50 кг подняли на пятый этаж строящегося дома. Высота этажа 3 м. Какова потенциальная энергия мешка относительно земли? А относительно балкона третьего этажа, куда его могут уронить? Принять g = 9,8 Н/кг.
- Находим высоту в метрах
Пол пятого этажа отделяют от земли четыре перекрытия, а не пять.
h₁ = 4 · 3 = 12 м
Здесь и теряют ответ: «пятый этаж» и «пять высот этажа» — разные вещи.
- Считаем энергию относительно земли
Eп = 50 · 9,8 · 12 = 5880 Дж
- Считаем ту же энергию относительно балкона
Балкон третьего этажа поднят над землёй на 2 · 3 = 6 м, то есть мешок выше него на столько же.
h₂ = 12 − 6 = 6 м
Eп = 50 · 9,8 · 6 = 2940 Дж
- Сверяем с ожиданием
Высота уменьшилась вдвое — энергия уменьшилась вдвое. Так и должно быть: высота входит в формулу первой степенью, никакого квадрата здесь нет.
- Ответ
Относительно земли Eп = 5880 Дж, относительно балкона третьего этажа 2940 Дж
Два разных ответа на один вопрос — не двусмысленность, а суть величины. Число 5880 Дж говорит, какую работу мешок совершит, долетев до земли; 2940 Дж — какую он совершит, упав на балкон. Это разные события. Высота этажа взята обычной для жилого дома; в конкретном здании она может быть и 2,7 м, и 3,3 м, и ответ изменится пропорционально. Мешок при этом считается точкой: учтёте высоту его центра тяжести над полом — ответ немного вырастет, на школьную точность это не влияет.
Второй пример, попроще
Какой потенциальной энергией относительно Земли обладает тело массой 100 кг на высоте 10 м?
Eп = 100 · 9,8 · 10 = 9800 Дж
Разрешено взять g = 10 Н/кг — получится 10 000 Дж, на два процента больше. Оба ответа считаются верными, но внутри одной задачи значение g не меняют.
От чего зависит и от чего не зависит
От массы и от высоты — прямо пропорционально: вдвое тяжелее значит вдвое больше, вдвое выше — тоже вдвое. В отличие от кинетической энергии квадратов здесь нет вовсе. Ещё зависит от места: тот же груз на той же высоте запасёт на Луне в шесть раз меньше. И от выбранного уровня — но это не произвол расчёта, а свойство величины: смысл имеет разность энергий, а она от выбора уровня уже не зависит.
От пути, которым тело оказалось наверху, энергия не зависит. Занесли велосипед на третий этаж по лестнице, подняли лифтом, втащили верёвкой через окно — 15 кг на шести метрах дают 882 Дж в любом случае. Лестница длиннее вертикали, но в формулу входит именно высота.
То же и с наклонной плоскостью: закатив бочку на платформу по длинному пандусу, вы пройдёте больше метров, а поднимете её на ту же высоту. Выигрыш пандуса не в энергии, а в силе — тянуть приходится слабее, зато дольше.
Не зависит она и от скорости. Летящий самолёт и такой же самолёт, поднятый на ту же высоту неподвижно, имеют одинаковую потенциальную энергию. Всё, что связано со скоростью, — отдельная величина с отдельной формулой.
И от того, как быстро тело подняли. Медленно или рывком — запасено будет одно и то же; различаться будет мощность, то есть скорость передачи энергии.
С чем путают
Потенциальная энергия и сила тяжести
Обе считаются через массу и g, различаются одной буквой, и обе называют «сколько тянет груз». Величины при этом разные.
| Fт — сила тяжести | Eп — потенциальная энергия | |
|---|---|---|
| Формула | Fт = m·g | Eп = m·g·h |
| Единица | ньютон (Н) | джоуль (Дж) |
| На какой вопрос отвечает | с какой силой Земля тянет тело | какую работу тело совершит, опустившись |
| Зависит ли от высоты | у поверхности Земли практически нет | да, прямо пропорционально |
| Нужен ли уровень отсчёта | нет | да, обязательно |
Отсюда следствие: у лежащего на земле тела сила тяжести есть, а потенциальная энергия относительно земли равна нулю. Притяжение никуда не делось, просто падать телу больше некуда.
Энергия и работа по подъёму
Числа совпадают: поднять 10 кг на два метра стоит 196 Дж работы, и энергия груза становится теми же 196 Дж. Различие в том, что работа — это процесс, а энергия — состояние. Работу кто-то совершает на каком-то перемещении; энергия просто есть у тела в данном положении. И знаки противоположны: при подъёме сила тяжести работает отрицательно, а энергия растёт.
Высота и длина пути
В формулу идёт высота по вертикали. Ящик, поднятый по наклонной доске длиной пять метров на высоту два, даёт в формулу двойку, а не пятёрку. Проверка простая: высота — это то, что покажет отвес, а не то, сколько метров прошли ноги.
Высота до чего именно
Строго говоря, h — высота центра тяжести над выбранным уровнем. Для мяча или гири разница между «до низа» и «до середины» невелика, а для стоящего человека ростом 1,8 м или двухметрового бревна это уже десятки процентов. В школьных задачах тело обычно считают точкой, но в задачах про подъём людей и длинных предметов оговорку стоит держать в уме.
Тяжесть и упругость
«Потенциальная энергия» — название целого семейства, а не только формулы m·g·h. Сжатая пружина, натянутая тетива, закрученная пружина часов тоже запасают потенциальную энергию, но считается она через жёсткость и деформацию. У сжатой пружины на столе никакой высоты нет, а энергия есть.
Потенциальная и кинетическая
Первая связана с положением, вторая — с движением. У падающего яблока есть обе, и по мере падения первая переходит во вторую: высота убывает, скорость растёт. Без трения сумма остаётся постоянной — это закон сохранения механической энергии, ближайшая тема после этой.
Быстрая проверка себя: ответ обязан выйти в джоулях. Получились ньютоны — посчитана сила тяжести, а не энергия.