Формула времени движения
7 классМеханика
Время движения — это длительность промежутка, за который тело прошло путь, а не момент по часам. Измеряется в секундах (с).
Запись получается перестановкой определения скорости: если за каждый час тело проходит v километров, то на s километров ему нужно во столько раз больше часов. Вся сложность этой темы не в физике, а в переводе часов и минут в одну единицу.
Что означает каждая буква
Проверка размерности: м / (м/с) = с. Метры сокращаются, остаются секунды. Но переводить всё в секунды не обязательно: важно, чтобы путь и скорость были парными — километры с километрами в час дают часы.
t здесь — длительность, а не момент. «Выехали в 9:15» в формулу не подставляют; в задаче на расписание момент и промежуток работают вместе: выехали в 9:15, ехали 2 ч 30 мин — приехали в 11:45.
Отрицательным время движения не бывает. Минус в ответе означает либо ошибку в счёте, либо что данные противоречат друг другу, — например, скорость и путь взяты для разных направлений.
Посчитать по формуле
Не хватает: пройденный путь. Введите — покажу ответ, перевод единиц и всю подстановку.
Когда формула не работает
Формула описывает равномерное движение с постоянной скоростью. Вот где это перестаёт быть правдой.
Скорость непостоянна
Если тело разгонялось, тормозило или стояло, подставлять «скорость на трассе» нельзя: время получится меньше настоящего. Формула останется верной, если взять среднюю скорость, но тогда и ответ будет только полным временем движения — сколько заняла каждая часть дороги, по нему не сказать.
Тогда: разбейте дорогу на участки с постоянной скоростью, найдите время каждого и сложите — это и есть школьный способ решать задачи «часть пути ехал так, часть иначе»
Движение равноускоренное — время находят иначе
Если скорость меняется равномерно, время из пути делением не получить: путь связан со временем через квадрат, s = v₀t + at²/2, и относительно t это квадратное уравнение. Проще всего это видно на свободном падении: камень падает с высоты 20 м, подставить «скорость» в t = s/v нечего — она всё время растёт. Считают из s = at²/2, откуда t = √(2s/a) ≈ 2,0 с.
Скорость равна нулю
Если скорость равна нулю, тело не сдвинется никогда, и времени, за которое оно пройдёт заданный путь, не существует. Это не ошибка ввода, а осмысленный ответ: делить на ноль здесь нельзя ровно потому, что физического ответа нет. Тот же случай в замаскированном виде — догон с равными скоростями: разность равна нулю, и догоняющий не сократит разрыв.
Тогда: проверьте условие — при равных скоростях вопрос «через сколько догонит» ответа не имеет, и это и есть ответ задачи
Скорости складывают только вдоль одной прямой и в одной системе отсчёта
Приём «сложить скорости» работает, только когда движение идёт по одной прямой: навстречу, вдогонку, по течению или против него. Как только направления перестают лежать на одной прямой — лодка идёт под углом к течению, самолёт летит при боковом ветре, — складывать надо векторы, и результат получается меньше арифметической суммы. И ещё условие: собственная скорость лодки задана относительно воды, скорость течения — относительно берега.
Тогда: сложение векторов и относительность движения (9 класс)
Справочник: минуты в долях часа
Когда скорость задана в километрах в час, а время — в минутах, минуты сначала переводят в доли часа делением на 60. Действие одно, но в спешке именно его делают неверно.
| Сколько времени | Десятичной дробью, ч | Частая неверная запись | Откуда число |
|---|---|---|---|
| 5 мин | 0,083 | 0,05 | 5 / 60 = 0,0833 |
| 6 мин | 0,1 | — | 6 / 60 = 0,1 (ровно) |
| 10 мин | 0,167 | 0,10 | 10 / 60 = 0,1667 |
| 12 мин | 0,2 | — | 12 / 60 = 0,2 (ровно) |
| 15 мин | 0,25 | 0,15 | 15 / 60 = 0,25 (ровно) |
| 20 мин | 0,333 | 0,20 | 20 / 60 = 0,3333 |
| 30 мин | 0,5 | 0,30 | 30 / 60 = 0,5 (ровно) |
| 40 мин | 0,667 | 0,40 | 40 / 60 = 0,6667 |
| 45 мин | 0,75 | 0,45 | 45 / 60 = 0,75 (ровно) |
| 50 мин | 0,833 | 0,50 | 50 / 60 = 0,8333 |
| 1 ч 20 мин | 1,333 | 1,20 | 1 + 20/60 |
| 1 ч 45 мин | 1,75 | 1,45 | 1 + 45/60 (ровно) |
| 2 ч 30 мин | 2,5 | 2,30 | 2 + 30/60 (ровно) |
Что из таблицы видно сразу. Ровно переводятся 7 строк из 13 — 6 мин, 12 мин, 15 мин, 30 мин, 45 мин, 1 ч 45 мин, 2 ч 30 мин: доля часа конечна тогда, когда минуты делятся на три. Треть часа — это 20 минут, а не 30, отсюда и дробь 0,333, которую в школьной задаче округляют до тысячных.
Колонка «частая неверная запись» — это доля часа, взятая прямо с циферблата: минуты переписывают как сотые. Ошибка тем опаснее, что число выглядит правдоподобно и в ответе не бросается в глаза.
Часы, минуты и десятичная дробь
Главная ошибка темы вообще не физическая: часы с минутами записывают как десятичную дробь напрямую, будто в часе сто минут. В часе шестьдесят минут, поэтому доля часа считается делением на 60, а не отбрасыванием двоеточия.
1 ч 20 мин = 1 + 20/60 = 1,33 ч, а не 1,2 ч
Из минут в доли часа — делим на 60. Из доли часа в минуты — умножаем на 60: 4,2 ч = 4 ч 12 мин, а не 4 ч 20 мин.
Числовой пример ошибки. Автомобиль идёт со скоростью 90 км/ч, сколько он проедет за 1 ч 20 мин? Как ошибаются: 90 · 1,2 = 108 км. Как правильно: 1 ч 20 мин = 1,33 ч, 90 · 1,33 ≈ 120 км. Ровно 120 получается из трети часа: 90 · 4/3. Проверка без дробей: за час — 90 км, за 20 минут (треть часа) — 30 км, всего 120. Ошибка стоила двенадцати километров на ровном месте.
Как поймать себя на ошибке: минуты, переписанные после запятой как сотые, — это деление на 100, а не на 60. 20 минут — это 0,333 ч, а не 0,20; 45 минут — 0,75 ч, а не 0,45.
Как выразить другие величины
Запоминать три записи не нужно: достаточно определения скорости, а деление и умножение расставляются по тому, что ищем.
Разбор задачи
Из двух городов, расстояние между которыми 350 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость первого 60 км/ч, второго 80 км/ч. Через сколько времени они встретятся и на каком расстоянии от первого города это произойдёт?
- Находим скорость сближения
v = v₁ + v₂ = 60 + 80 = 140 км/ч
Поезда идут навстречу, значит расстояние между ними сокращается на сумму их скоростей за каждый час.
- Считаем время до встречи
t = s / v = 350 / 140 = 2,5 ч
Единицы: км / (км/ч) = ч — сходится. Расстояние и скорости были в парных единицах, поэтому ответ сразу в часах.
- Переводим ответ в часы и минуты
0,5 · 60 = 30 мин, значит t = 2 ч 30 мин
Записать «2,5 ч» как «2 ч 50 мин» — та самая ошибка, о которой справочник выше.
- Находим место встречи
s₁ = v₁ · t = 60 · 2,5 = 150 км от первого города
- Проверяем, похоже ли на правду
Второй поезд за то же время прошёл 80 · 2,5 = 200 км. Вместе 150 + 200 = 350 км — ровно всё расстояние, значит поезда встретились и ничего не потеряно. Точка встречи ближе к первому городу: так и должно быть, ведь он идёт медленнее.
- Ответ
Встретятся через 2 ч 30 мин, в 150 км от первого города
Второй пример: катер по течению и против
Собственная скорость катера 12 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч. За какое время катер пройдёт 42 км по течению и за какое — тот же путь против течения?
по течению: v = 12 + 2 = 14 км/ч, t = 42 / 14 = 3 ч
против течения: v = 12 − 2 = 10 км/ч, t = 42 / 10 = 4,2 ч = 4 ч 12 мин
Обратите внимание на последний перевод: 4,2 ч — это 4 ч 12 мин, потому что 0,2 · 60 = 12, а не 4 ч 20 мин. Против течения дорога заняла на 1 ч 12 мин больше при том же пути: разница и есть цена течения.
От чего зависит и от чего не зависит
С путём время связано прямо: дорога вдвое длиннее — ехать вдвое дольше. А со скоростью — обратно, и это место читают невнимательно: едем вдвое быстрее — время не «на столько же меньше», а именно вдвое меньше.
Время не складывается со временем других тел — звучит очевидно, но именно на этом ломаются задачи на встречное движение. У двух поездов, вышедших навстречу, время до встречи общее: оно одно на двоих.
| Что складывается при встречном движении | Что не складывается |
|---|---|
| Скорости — они дают скорость сближения | Времена — оно у обоих одно и то же |
| Пути, пройденные каждым, — вместе дают всё расстояние | Расстояния до места встречи не равны |
Отсюда рабочее правило: расстояние между телами, идущими навстречу, сокращается со скоростью (v₁ + v₂), и время до встречи t = s / (v₁ + v₂). Если одно догоняет другое, в знаменателе стоит разность (v₁ − v₂); при равных скоростях догоняющий не догонит никогда — знаменатель обращается в ноль, и это не сбой формулы, а ответ задачи: догнать нельзя.
От массы время не зависит: тяжёлый грузовик и лёгкая машина при одинаковой скорости доедут за одинаковое время, разной будет только работа, которую придётся совершить.
С чем путают
Момент времени и промежуток времени
| Момент | Промежуток | |
|---|---|---|
| На что отвечает | «когда» | «сколько длилось» |
| Пример | выехали в 9:15 | ехали 2 ч 30 мин |
| Что подставляют в t = s/v | — | это |
| Может ли быть отрицательным | да, если отсчёт от более позднего события | нет |
При встрече делят на скорость сближения, а не пополам
Разбор той же задачи, но с ошибкой. «Встретятся посередине, значит каждый пройдёт 175 км» — дальше делят 175 / 60 = 2,9 ч и 175 / 80 = 2,2 ч, получают два разных времени и берут одно из них или усредняют. Оба хода неверны.
Почему это неверно. Посередине поезда встретятся только при равных скоростях. Быстрый успевает пройти больше, и точка встречи смещена в сторону медленного. А время до встречи у них одно и то же: выехали одновременно и встретились одновременно. Ошибочные 2,9 и 2,2 часа отличаются от верных 2,5 на десятки минут — на расписании это уже другой поезд.
Время в пути и время движения
Если в задаче есть остановки, «время в пути» больше «времени движения». Формула при постоянной скорости даёт именно время движения; чтобы получить время в пути, к нему прибавляют стоянки — или сразу берут среднюю скорость, в которую стоянки уже заложены. Поэтому средняя скорость поезда между городами заметно меньше той, что он показывает на перегоне.
Время равномерного движения и время разгона
Признак, что перед вами не равномерное движение: в условии есть слова «разогнался», «тормозил», «с ускорением», «падает», «с места». Тогда время из пути делением не получить — это соседняя тема, ускорение, и формулы одной темы в задачи другой не подставляют.