Формула пути
7 классМеханика
Путь — это длина всей траектории, которую тело прошло: сумма длин прямых, поворотов и петель. Измеряется в метрах (м).
Запись получается перестановкой определения скорости и означает то же самое: если тело за каждую секунду проходит v метров, то за t секунд оно пройдёт в t раз больше. Формула считает именно путь и именно при равномерном движении.
Что означает каждая буква
Проверка размерности: (м/с) · с = м. Секунды сокращаются, остаются метры — значит подставлять надо метры в секунду и секунды.
v обязана быть постоянной. Если скорость менялась, подставлять надо среднюю и называть результат путём за всё время, а не «путём со скоростью v». t — длительность именно движения, а не время в пути со стоянками, если стоянки не заложены в условие нарочно.
Путь — величина скалярная: направления у него нет, и он никогда не уменьшается. Даже если тело развернулось и поехало обратно, счётчик продолжает расти. Поэтому путь удобен для расхода бензина и оплаты такси и неудобен, когда надо понять, где тело оказалось.
Посчитать по формуле
Не хватает: скорость движения. Введите — покажу ответ, перевод единиц и всю подстановку.
Когда формула не работает
Формула описывает равномерное движение: скорость постоянна по величине. Траектория при этом любая — путь по извилистой дороге считается той же формулой. Вот где это перестаёт быть правдой.
Скорость непостоянна
Настоящая поездка состоит из разгонов, торможений и стоянок. Подставлять «скорость на трассе» и полное время в пути нельзя: получится путь, которого не было. Формула остаётся верной, если подставить среднюю скорость, но тогда и результат будет только полным путём за весь промежуток. Признак: в условии есть остановки, участки с разной скоростью или слова «разогнался», «затормозил».
Тогда: средняя скорость и её подводные камни разобраны на странице скорости →
Движение равноускоренное — это другая формула
Если тело разгоняется или тормозит равномерно, путь считают по s = v₀·t + a·t²/2, а при старте с места — просто s = a·t²/2. Подставлять сюда s = v·t нельзя ни в каком виде. Именно поэтому тормозной путь растёт как квадрат скорости, а разгон с места за вдвое большее время даёт вчетверо больший путь, а не вдвое.
Нужен не путь, а перемещение
Если вопрос звучит «где окажется тело» или «на каком расстоянии от старта оно будет», путь на него не отвечает. Формула посчитает длину траектории, а спрашивают про вектор. Тело час двигалось со скоростью 20 км/ч по кругу и вернулось в исходную точку: путь равен 20 км, перемещение равно нулю, и ответ «тело удалилось на 20 км» будет неверным.
Тогда: перемещение и его сложение по правилам векторов (9 класс). У прямолинейного движения без разворотов путь и модуль перемещения совпадают, и различать их не приходится
Скорость и время взяты в разных системах отсчёта
Формула требует, чтобы скорость и время были измерены относительно одного и того же тела отсчёта. Лодка, идущая по реке со своей скоростью 5 км/ч, относительно берега проходит не 5 км в час, а больше или меньше — в зависимости от того, куда несёт течение.
Справочник: остановочный путь автомобиля
Самый практичный расчёт пути, который встречается в жизни, — сколько метров проедет автомобиль с момента, когда водитель увидел препятствие, до полной остановки. Складывается он из двух частей, и посчитаны они разными формулами. Первая часть — путь за время реакции: водитель уже увидел, но ещё не нажал, и машина едет с прежней скоростью. Это ровно наш случай, s = v·t. Вторая часть — тормозной путь: там скорость падает, движение равнозамедленное, и считают по s = v² / (2a).
| Скорость перед торможением | Путь за время реакции, м | Тормозной путь, м | Остановочный путь, м | Как получено | Откуда число |
|---|---|---|---|---|---|
| 30 км/ч (город, спокойный ход) | 8,3 | 7,1 | 15,4 | наш расчёт: v = 30/3,6 = 8,33 м/с; за 1 с реакции 8,33 м; v² = (30/3,6)² = 69,44; 2a = 2 · 4,9 = 9,8; тормозной путь 69,44 / 9,8 = 7,1 м; время реакции 1 с — оценка | ГОСТ 33997-2016, таблица 4.4, категория M1 |
| 60 км/ч (город) | 16,7 | 28,3 | 45,0 | наш расчёт: v = 60/3,6 = 16,67 м/с; за 1 с реакции 16,67 м; v² = (60/3,6)² = 277,78; 2a = 2 · 4,9 = 9,8; тормозной путь 277,78 / 9,8 = 28,3 м; время реакции 1 с — оценка | ГОСТ 33997-2016, таблица 4.4, категория M1 |
| 90 км/ч (загородная дорога) | 25,0 | 63,8 | 88,8 | наш расчёт: v = 90/3,6 = 25 м/с; за 1 с реакции 25 м; v² = (90/3,6)² = 625; 2a = 2 · 4,9 = 9,8; тормозной путь 625 / 9,8 = 63,8 м; время реакции 1 с — оценка | ГОСТ 33997-2016, таблица 4.4, категория M1 |
| 110 км/ч (автомагистраль) | 30,6 | 95,3 | 125,8 | наш расчёт: v = 110/3,6 = 30,56 м/с; за 1 с реакции 30,56 м; v² = (110/3,6)² = 933,64; 2a = 2 · 4,9 = 9,8; тормозной путь 933,64 / 9,8 = 95,3 м; время реакции 1 с — оценка | ГОСТ 33997-2016, таблица 4.4, категория M1 |
- ГОСТ 33997-2016, таблица 4.4, категория M1
- ГОСТ 33997-2016 «Колёсные транспортные средства. Требования к безопасности в эксплуатации и методы проверки», таблица 4.4, строка категории M1: установившееся замедление не менее 4,9 м/с²; начальная скорость проверки 40 км/ч — пункт 4.1.3. Официальное издание стандарта не прочитано: текст сверен по публикации в правовой базе sudact.ru, где документ лежит одной страницей; таблица 4.4 и пункт 4.1.3 — в разделе 4.1 «Требования к тормозным системам». Источник
Замедление 4,9 м/с² — это не «типичная машина», а норматив установившегося замедления исправного легкового автомобиля. Стандарт проверяет торможение в дорожных условиях с 40 км/ч одним из двух способов (ГОСТ 33997-2016, пункт 5.1.4.15): машина проходит, если уложилась в норматив тормозного пути или в нормативы замедления и времени срабатывания — и в обоих случаях при торможении не вышла из коридора движения установленной ширины. Настоящая машина в хороших условиях тормозит резче, и тогда тормозной путь получится короче. Время реакции 1 секунда — оценка: норматив на человека не пишут, а разброс большой, и единица взята как круглый и не самый плохой ориентир.
Что из таблицы видно сразу: скорость выросла вдвое — остановочный путь вырос в 2,9 раза (с 30 до 60 км/ч это 15,4 → 45,0 м). Причина в том, что тормозная часть растёт как квадрат скорости, а «реакционная» — линейно.
Каждое число в таблице округлено отдельно, поэтому в последней строке сумма округлённых слагаемых отличается от округлённой суммы на 0,1 м.
Единицы должны быть парными
Здесь ошибаются не в переводе километров в час, а в более коварном месте: скорость и время берут из разных систем единиц.
Скорость в км/ч → время в часах → ответ в километрах. Скорость в м/с → время в секундах → ответ в метрах.
Числовой пример ошибки. Автомобиль едет со скоростью 60 км/ч, какой путь он пройдёт за 30 минут? Как ошибаются: 60 · 30 = 1800 и записывают «1800 км» — расстояние от Москвы до Урала за полчаса. Число получилось от того, что часы умножили на минуты. Как правильно: 30 мин = 0,5 ч, s = 60 · 0,5 = 30 км.
Тот же ответ в СИ: 60 км/ч = 16,7 м/с, 30 мин = 1800 с, s = 16,7 · 1800 ≈ 30 000 м. Небольшая разница — только из-за округления 16,666… до 16,7.
Проверка себя одной фразой: за полчаса тело проходит половину того, что за час. Если в ответе получилось больше часовой нормы, единицы перепутаны.
Как выразить другие величины
Это одно равенство, переставленное тремя способами. Запомнить достаточно исходное: остальные получаются из него переносом.
Разбор задачи
Поезд идёт равномерно со скоростью 72 км/ч. Какой путь он пройдёт за 1 ч 30 мин? Сколько это в метрах?
- Приводим время к одной единице
1 ч 30 мин = 1,5 ч
Это первое место, где ошибаются: записать «1,30 ч» нельзя, потому что 30 минут — половина часа, а не тридцать сотых.
- Проверяем, парные ли единицы
Скорость в км/ч, время в часах — пара сходится, ответ получится в километрах.
- Считаем путь
s = v · t = 72 · 1,5 = 108 км
Единицы: (км/ч) · ч = км — сходится.
- Переводим ответ в метры
s = 108 км = 108 · 1000 = 108 000 м
- Проверяем тот же ответ через СИ
v = 72 / 3,6 = 20 м/с
t = 1,5 ч = 1,5 · 3600 = 5400 с
s = 20 · 5400 = 108 000 м
Совпало — значит перевод сделан верно. Пересчитать задачу вторым способом и сверить — хорошая привычка.
- Ответ
s = 108 км = 108 000 м
Точность ответа задают скорость и время: две значащие цифры (72 и 1,5). Столько же их и в ответе: 108 км округляем до 110 км. Больше цифр писать не из чего — такой точности в условии нет. Почему столько цифр
Второй пример, попроще
Велосипедист едет со скоростью 4 м/с. Какой путь он проедет за 5 минут?
t = 5 мин = 5 · 60 = 300 с
s = v · t = 4 · 300 = 1200 м = 1,2 км
Проверка: 4 м/с — это 14,4 км/ч; за пять минут, то есть за 1/12 часа, получается 14,4 / 12 = 1,2 км. Совпало.
От чего зависит и от чего не зависит
Путь растёт вместе со скоростью и вместе со временем — оба множителя входят в формулу прямо. Удвоили скорость при том же времени, удвоили время при той же скорости — путь в обоих случаях удвоится. Зависит он и от траектории: из точки А в точку Б можно доехать по прямой, а можно в объезд, и расстояние по карте будет одно, а путь разный.
А вот от направления движения путь не зависит вовсе и не уменьшается, когда тело поворачивает назад. Этим путь и отличается от перемещения, и на этом построены многие задачи темы.
| Как двигалось тело за час | Путь | Перемещение |
|---|---|---|
| 20 км по прямой на север | 20 км | 20 км, на север |
| 10 км на север, потом 10 км обратно | 20 км | 0 |
| 20 км по извилистой дороге до точки в 12 км от старта | 20 км | 12 км, в сторону этой точки |
Во всех трёх строках путь одинаков — и по нему нельзя сказать, где тело оказалось. В этом и была причина, по которой в физике завели перемещение отдельной величиной.
Не зависит путь и от того, с какой скоростью тело шло по каждому куску: прошагали километр медленно или пробежали быстро — путь один и тот же километр, разным будет только время.
С чем путают
Путь и перемещение — главная пара этой темы
| s — путь | перемещение | |
|---|---|---|
| Что это | длина траектории | вектор из начальной точки в конечную |
| Векторная или скалярная | скалярная | векторная |
| Может ли быть нулём при движении | нет, растёт всегда | да, если тело вернулось |
| Чем измеряют в машине | одометром | по карте, между точками старта и финиша |
Правило без исключений: путь больше или равен модулю перемещения. Равны они только в одном случае — когда тело двигалось по прямой и не разворачивалось.
«Удвоил скорость — удвоился и тормозной путь»
Ошибка не в арифметике, а в том, что к торможению применяют формулу равномерного движения. Автомобиль тормозит с 60 км/ч и останавливается через 28 метров. На сколько вырастет тормозной путь, если та же машина затормозит с 120 км/ч?
Как отвечают неправильно: «скорость вдвое больше — значит и путь вдвое больше, 28 · 2 = 56 метров». Рассуждение опирается на s = v·t.
Почему это неверно. Тормозящая машина движется равнозамедленно, и работает другая формула, где скорость стоит в квадрате:
s = v² / (2a)
60 км/ч = 60 / 3,6 м/с; s = (60 / 3,6)² / (2 · 4,9) = 28,3 м
120 км/ч = 120 / 3,6 м/с; s = (120 / 3,6)² / (2 · 4,9) = 113,4 м
Скорость тут не округляется по дороге: 16,67 и 33,33 — это уже сокращённая запись, и счёт по ним даёт 28,4 вместо 28,3.
113,4 / 28,3 — это ровно в 4 раза больше, а не вдвое. Разница между «ошибочными» 56 метрами и настоящими 113 — это больше полусотни метров дороги.
Что отсюда забрать: прежде чем умножать скорость на время, ответьте на вопрос, была ли скорость постоянной. У тормозящей машины она не постоянна, и формула этой страницы к тормозному пути не применима.
Путь и расстояние
В обиходе синонимы, в задаче — нет. «Расстояние между городами 400 км» — это по прямой или по карте между точками. «Путь автомобиля 470 км» — сколько он реально проехал по дороге с изгибами. Совпадают они редко.
Путь и координата
Координата показывает, где тело находится на оси, и может быть отрицательной. Путь показывает, сколько тело прошло, и отрицательным не бывает никогда. В формулы равноускоренного движения подставляют именно координату или перемещение.