Формула плотности

Что означает каждая буква

Единица ответа собирается из единиц данных: килограммы разделить на кубометры дают кг/м³. Значит и подставлять надо килограммы с кубометрами, а не граммы с литрами.

Объём тела правильной формы считают по геометрии: у бруска V = a·b·c, у цилиндра V = π·r²·h. Объём тела неправильной формы меряют вытеснением воды в мензурке — именно так его и находят в школьной лабораторной.

Буква ρ — греческая «ро», а не латинская p: в формуле давления p = F/S стоит другая буква и другая величина. Написанные от руки, они различаются только хвостиком, и путаница из-за этого случается чаще, чем кажется.

Посчитать по формуле

Справочник: плотности веществ

Пёрышкин, 7 класс, § 22, таблица 2

А. В. Пёрышкин, «Физика. 7 класс», § 22 «Плотность вещества», таблица 2 «Плотности некоторых твёрдых тел (при норм. атм. давл., t = 20 °С)». Таблица в воспроизведении дана картинкой, числа сверены по ней глазами; осмий, алюминий, свинец, серебро, мрамор и лёд названы и в тексте параграфа. Сухие дуб и сосна в таблице записаны как «Дуб (сухой)» и «Сосна (сухая)». Источник

Пёрышкин, 7 класс, § 22, таблица 3

А. В. Пёрышкин, «Физика. 7 класс», § 22 «Плотность вещества», таблица 3 «Плотности некоторых жидкостей (при норм. атм. давл., t = 20 °С)». Таблица в воспроизведении дана картинкой, числа сверены по ней глазами; у ацетона в колонке г/см³ там напечатано 7,9 при 790 кг/м³ — здесь стоит 0,79, результат деления на 1000. Источник

Пёрышкин, 7 класс, § 22, таблица 4

А. В. Пёрышкин, «Физика. 7 класс», § 22 «Плотность вещества», таблица 4 «Плотности некоторых газов (при норм. атм. давл., t = 20 °С)»; воздух и водяной пар даны в ней с оговорками «при 0 °С» и «при t = 100 °С». Таблица в воспроизведении дана картинкой, числа сверены по ней глазами; в ней они записаны тремя знаками после запятой (3,210, 1,980…). Источник

Параграфы учебника А. В. Пёрышкина сверены по его воспроизведению на сайте лена24.рф. Соавторов, издательство и год издания воспроизведение не называет, поэтому редакция не подтверждена: в другом издании номера параграфов, таблиц и упражнений могут отличаться.

Таблицу удобно читать не строкой, а границами. Число 1000 делит её пополам по признаку «тонет или всплывает в воде»: лёд (900), парафин (900), сосна (400), бензин (710) держатся на поверхности, а все металлы таблицы тонут. Само правило разбирают в теме про архимедову силу, но узнаётся оно по этим числам.

Плотность воздуха меньше плотности воды примерно в 780 раз: 1,29 против 1000. Кубометр воздуха в комнате имеет массу чуть больше килограмма, кубометр воды — тонну. Отсюда и ощущение, что воздух ничего не весит, хотя весит.

Одинаковая плотность у разных веществ — обычное дело. Алюминий и мрамор оба 2700, спирт, керосин и нефть — все три 800. Значит, по одной плотности вещество определяется не всегда однозначно: круг кандидатов сужается, но не всегда до одного.

Лёд легче воды, и это редкость: почти все вещества при затвердевании становятся плотнее. Из этого исключения следует, что водоём промерзает сверху, а не со дна, — и подо льдом остаётся жидкая вода.

Граммы на кубический сантиметр и килограммы на кубометр

Одну и ту же плотность записывают двумя способами, и числа отличаются в тысячу раз. Плотность воды — это и 1000 кг/м³, и 1 г/см³; плотность стали — и 7800 кг/м³, и 7,8 г/см³. Величина одна, разница только в том, в чём мерили массу и объём.

1 г/см³ = 0,001 кг / 0,000001 м³ = 1000 кг/м³

Откуда тысяча: в килограмме тысяча граммов, а в кубометре — 100 · 100 · 100 = миллион кубических сантиметров. Миллион в знаменателе побеждает тысячу в числителе ровно в тысячу раз.

Из г/см³ в кг/м³ — умножаем на 1000 (7,8 г/см³ = 7800 кг/м³). Из кг/м³ в г/см³ — делим на 1000 (11 300 кг/м³ = 11,3 г/см³).

Опасность этой ошибки в том, что обе записи выглядят прилично: «восемь» и «восемь тысяч» для металла одинаково правдоподобны на слух. Масса стальной детали объёмом 0,002 м³ — 7800 · 0,002 = 15,6 кг; если подставить 7,8 как есть, получится 0,0156 кг, то есть двухлитровая болванка в полтора десятка граммов. Такого не бывает, но в потоке решения число проскакивает незамеченным.

Проверка себя одной фразой: у металла в килограммах на кубометр — тысячи, а в граммах на кубический сантиметр — единицы и десятки. Получилось у металла «восемь кг/м³» — потерялась тысяча.

Отдельно про объём. Литры и кубометры путают не реже: 1 м³ = 1000 л, поэтому бак на 60 литров — это 0,06 м³, а не 60 и не 0,6. Ошибка тут снова кратна тысяче, и ответ снова выглядит прилично.

Как выразить другие величины

Из трёх записей чаще всего нужна m = ρ·V: вещество известно, объём измерен, а найти требуется массу.

Разбор задачи

Кусок металла массой 351 г при погружении в мензурку вытеснил 45 см³ воды. Найдите плотность металла и попробуйте определить, что это за металл.

1. Считаем в тех единицах, в которых даны данные

   Масса в граммах, объём в кубических сантиметрах — значит плотность получится в г/см³, и переводить пока ничего не нужно.

   ρ = m / V = 351 / 45 = 7,8 г/см³

   Проверка умножением: 45 · 7,8 = 351 — сходится.

2. Переводим ответ в единицы СИ

   ρ = 7,8 · 1000 = 7800 кг/м³

   Забыть этот множитель — и ответ разойдётся с истиной в тысячу раз.

3. Ищем вещество в таблице

   7800 кг/м³ — строка «сталь, железо». Ближайшие соседи — олово 7300 снизу и латунь 8500 сверху: ни то, ни другое к 7800 не подходит.

4. Проверяем, похоже ли на правду

   Плотность в 7,8 раза больше водяной — значит металл, и значит тонет. Порядок совпадает с ориентирами: тяжёлые металлы этой таблицы стоят между чугуном 7000 и осмием 22 600 кг/м³, а лёгкий алюминий 2700 — исключение, а не правило.

5. Ответ

   ρ = 7,8 г/см³ = 7800 кг/м³; по таблице это сталь или железо

   Точность ответа задаёт объём: две значащие цифры (45). Ответ 7,8 г/см³ в эту точность укладывается — округлять нечего. Почему столько цифр

Вывод «это железо» — вероятный, а не доказанный. Плотность сужает круг, но не всегда определяет вещество: у стали и железа в школьной таблице одна строка на двоих, а алюминий и мрамор делят число 2700. И метод годится только для сплошного куска: будь внутри пустота, объём вышел бы больше, плотность меньше, и в таблице нашлось бы совсем другое вещество. Слабое место опыта — мензурка: она даёт объём с точностью до деления шкалы, обычно один-два кубических сантиметра, тогда как весы точнее.

Второй пример, попроще

Какова масса бензина, полностью заполняющего бак объёмом 60 л?

V = 60 л = 60 · 0,001 = 0,06 м³

m = ρ·V = 710 · 0,06 = 42,6 кг

Сорок с лишним килограммов — примерно как ещё один пассажир. Заодно виден смысл того, что бензин легче воды: та же ёмкость, залитая водой, дала бы 60 кг.

От чего зависит и от чего не зависит

Справа в формуле стоят и масса, и объём, и кажется, что от них плотность и зависит. Но стоит там их отношение, а оно не меняется, пока масса и объём растут вместе.

Все три строки про один и тот же алюминий. Отпилили половину бруска — плотность та же, расплющили в лист — та же. Это и делает величину полезной: мерить её можно на любом удобном образце, а пользоваться результатом — для тела любого размера.

Держать в голове это удобно так: отношение массы к объёму — способ измерить плотность по весам и мензурке; вещество — причина, по которой она именно такая; а масса — следствие, ведь m = ρ·V.

От агрегатного состояния плотность зависит по-настоящему. У одного и того же вещества это разные строки таблицы: лёд 900, вода 1000, водяной пар 0,590 кг/м³. «Вода» в условии и «пар» в условии — разные числа.

А ещё от температуры, и у газов — от давления. При нагревании объём растёт, масса нет, значит плотность падает; сжатый в баллоне воздух плотнее комнатного. У твёрдых тел и жидкостей эти изменения — доли процента, и в школьной задаче их не учитывают: справочник выше дан при нормальном атмосферном давлении и 20 °C, а где условия другие, это сказано прямо в строке.

У пористых и сыпучих материалов — песка, снега, опилок, крупы — измеренное этим способом число называют насыпной плотностью. Оно зависит и от размера частиц, и от того, насколько плотно они улеглись, и паспортной характеристикой вещества уже не является.

С чем путают

Плотность и масса

Ошибка держится на слове «тяжелее», которое само по себе ничего не значит. Масса — сколько вещества в теле, её меряют в килограммах; плотность — сколько массы приходится на кубометр вещества, её меряют в килограммах на кубометр. Отпилите половину: масса станет вдвое меньше, плотность не изменится вовсе.

Отсюда следствие: тяжёлое вещество может дать лёгкое тело. Свинцовая дробинка легче деревянного бревна, хотя свинец плотнее сухого дуба в 16 раз. Сравнивать вещества по тяжести можно только на равных объёмах — с этого опыта учебник тему и начинает.

Знаменитый вопрос «что тяжелее — килограмм пуха или килограмм железа» — вопрос не про массу, а про плотность: массы равны по условию, различаются объёмы. Килограмм железа займёт около 0,13 л, килограмм пуха — целый мешок.

Плотность вещества и плотность тела

У полого или составного тела отношение массы к объёму даёт среднюю плотность тела, а не плотность вещества, из которого оно сделано. У стального корабля средняя плотность меньше водяной — потому он и плавает, хотя сталь тонет. Число при этом верное, просто отвечает оно на другой вопрос.

Плотность и вес

В обиходе «вес» говорят про массу, и в разговоре это никому не мешает. В физике это разные величины: масса меряется в килограммах, а вес — это сила, с которой тело давит на опору, и меряется он в ньютонах. В формулу плотности подставляют массу. Если в условии дан вес в ньютонах, из него сперва находят массу — и только потом делят на объём.

Плотность и густота

Бытовое «густой» — это про вязкость, то есть про то, насколько трудно жидкости течь. Мёд и гуще, и плотнее воды, поэтому кажется, что слова об одном. Но машинное масло гуще воды, а плотность у него меньше — 900 против 1000, и в стакане с водой оно всплывёт. В отношение массы к объёму вязкость не входит вовсе.

Разделить эти две пары помогает единица: у плотности она дробная — килограмм, делённый на кубометр. Получились просто килограммы — вы посчитали массу.

Связанные величины

• Масса — то, что делят: m = ρ·V.
• Объём — то, на что делят: V = m/ρ.
• Давление в жидкости — p = ρ·g·h, плотность входит прямо.
• Архимедова сила — F = ρ·g·V, где ρ — плотность жидкости; отсюда и правило «тонет или всплывает».
• Количество теплоты — Q = c·m·Δt; чтобы получить массу воды из литров, нужна плотность.