Округление ответа
Калькулятор выдал длинный хвост цифр, а в тетрадь идёт одно число. Сколько цифр оставить, решают измерения из условия: ответ считается из них и точнее них быть не может.
Точность спрятана в записи
Число в условии — это не просто величина, а ещё и рассказ о том, чем её мерили. «7,5 с» означает секундомер с десятыми долями, «0,50 А» — амперметр, который дошёл до сотых. Смотреть надо именно на запись: в «0,5» и «0,50» величина одна, а сказано разное.
| Запись | Что говорит о точности | Почему |
|---|---|---|
| 3,6 | две значащие цифры | Запятая на месте, нулей в хвосте нет: сколько цифр написано, столько и измерено. |
| 0,50 | две значащие цифры | Ноль в хвосте после запятой — тоже показание: прибор дошёл до сотых и показал там ноль. Отбросить этот ноль значило бы отказаться от показания. |
| 12,0 | три значащие цифры | То же самое у целого значения: запятая и ноль говорят, что до десятых измерено. |
| 12 | две значащие цифры | Целое без нулей в хвосте: каждая цифра написана, значит измерена. Точность — до единиц, и о ней запись говорит сама. |
| 500 | по записи неизвестна | Нули в хвосте целого числа двусмысленны: их могли измерить, а могли поставить, потому что число круглое. Пятьсот граммов — это до грамма или до сотни? По одной записи этого не узнать. |
| 1200 | по записи неизвестна | Тот же случай: два нуля молчат о том, измерены они или дописаны. Точность такой записи известна только тому, кто держал прибор в руках. |
Как это выглядит в задаче
Каждое измеренное число условия говорит о своей точности — точные множители вроде двойки в формуле в счёт не идут, — и решает за весь ответ то, что сказало меньше всех: цепь не крепче слабого звена. Три задачи с разным исходом.
Ответ приходится укоротить
Пешеход прошёл 100,0 м за 7,5 с. Какова его скорость?
v = 13,3333 м/с
Точность ответа задаёт время движения: две значащие цифры (7,5). Столько же их и в ответе: 13,3333 м/с округляем до 13 м/с. Больше цифр писать не из чего — такой точности в условии нет.
Каждая лишняя цифра в такой записи — обещание точности, которого секундомер с десятыми не давал.
Укорачивать нечего
На проводнике 12,0 В, ток в нём 0,25 А. Каково сопротивление?
R = 48 Ом
Точность ответа задаёт сила тока в проводнике: две значащие цифры (0,25). Ответ 48 Ом в эту точность укладывается — округлять нечего.
Правило не требует ничего отрезать: оно ставит потолок, а ответ в него уже уложился — 48 и есть две цифры. Отрезают только то, что выше потолка.
Слабейших входов двое
На лампе напряжение 2,0 В, ток в ней 3,0 А. Какова мощность?
P = 6 Вт
Точность ответа задают напряжение на этом участке и сила тока через участок: две значащие цифры (2,0 и 3,0). Ответ 6 Вт в эту точность укладывается — округлять нечего.
Здесь оба числа условия сказали о своей точности одинаково, и выбрать из них «самое слабое» нельзя — слабейших двое, и точность ответа задают оба сразу. Такая ничья — обычное дело.
Когда число в условии точное
Не всякое число в условии измерено. Счётные величины — три одинаковых груза, двойка в знаменателе формулы — известны точно: пересчитывать их прибором не надо, и ошибки у них нет. Точно и то, что задано определением («в минуте 60 с») или прямо названо точным в условии («ровно 10 м»). А вот круглое число без такого слова точным не становится: мешок на заводе насыпают не до грамма, и «50 кг» на мешке — такое же измерение, только о своей точности эта запись молчит.
Мешок цемента массой 50,0 кг подняли ровно на 10 м. Какова его потенциальная энергия? Принять g = 9,8 Н/кг.
Eп = 4900 Дж
В счёт значащих цифр не идёт высота над выбранным уровнем: это точное число по условию (сказано «ровно 10 м»). Точность ответа задаёт ускорение свободного падения: две значащие цифры (9,8). Ответ 4900 Дж в эту точность укладывается — округлять нечего.
Точные числа потолок не опускают, потому что своей неточности у них нет. Здесь измерены масса и g, и слабее задано g — оно и решает за весь ответ. Если бы высоту посчитали наравне с измеренными, правило замолчало бы: «10 м» — круглое число без запятой, о своей точности оно не говорит ничего. Точным его делает только слово «ровно».
Когда правило молчит
Пешеход прошёл 900 м за 720 с. Какова его скорость?
v = 1,25 м/с
Из такой записи точность не вычитывается, и сказать, сколько цифр оставить, нельзя. Круглое число без запятой о своей точности молчит: «900 м» может быть измерено до метра, до десятка метров и до сотни. Слабейшее звено выбрать не из чего, а угадывать надёжнее не станет.
Если числа вы измерили сами, записывайте их с последним измеренным разрядом: «900,0 м» и «720,0 с» уже говорят о своей точности, и правило снова работает.
На контрольной запись из условия менять нельзя. Там обычно округляют по указанию учителя — «до десятых», «до целых»: это указание сильнее всего сказанного выше.
Почему ответ не бывает точнее данных
Деление и умножение точность не создают. Если путь измерен с ошибкой в полметра, никакое количество цифр после запятой в частном эту ошибку не уберёт — лишние цифры просто нарисуют уверенность, которой у измерения не было.
Проверить это можно руками. Вернитесь к первой задаче и посчитайте скорость дважды: со временем 7,45 с и 7,55 с — это границы того, что секундомер с десятыми ещё запишет тем же числом. Получится 13,42 и 13,25 м/с. Совпадает у этих двух ответов только начало — 13, а следующая цифра меняется от того, как дрогнула рука, и писать её в ответе не из чего.
Отсюда и само правило: сколько цифр устояло при расшатывании, примерно столько ответ и знает. Школьный счёт цифр — короткий способ не пересчитывать каждый раз обе границы.
Чего это правило не делает
Оно не отменяет точный ответ. Округление — это то, что идёт в тетрадь, а не то, что заменило вычисление: точное значение остаётся тем, из чего оно получено.
Оно не действует при сложении и вычитании. Там точность считают не по цифрам, а по разрядам: сумма 12,5 и 0,25 знает десятые, потому что первое слагаемое дальше десятых не измерено. В школьных задачах на эти формулы чаще умножают и делят, поэтому дальше речь о множительной части правила.
И оно не про промежуточные вычисления. Округлять по дороге не надо: ошибки складываются, и до ответа доедет уже не то число. Считают полностью, округляют один раз — в самом конце.